Exercício 2.3.4. Esboce as superfícies descritas pelas equações:
z=x^2+4(y-1)^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície
z = x^2 + 4(y-1)^2
O conteúdo é identificação e esboço de superfícies quádricas, em especial o paraboloide elíptico. Para desenhar, vamos (a) encontrar o vértice e o sentido de abertura, (b) analisar curvas de nível e (c) ver cortes em planos coordenados.

Passo 2

Para achar o vértice, igualamos as derivadas parciais a zero:
partial zpartial x = 2x = 0 implies x=0,
partial zpartial y = 8(y-1) = 0 implies y=1
Substituindo em z z=0. Logo o vértice é (0,1,0). Como os coeficientes de x^2 e de (y-1)^2 são positivos, a superfície abre para cima.

Passo 3

As curvas de nível são dadas por
z=k Longrightarrow x^2 + 4(y-1)^2 = k, k>=0
Isto é uma elipse no plano xy, centrada em (0,1). Seus semi-eixos valem
a = raizk(eixo ao longo de (x)), b = raizk2(eixo ao longo de (y))

Passo 4

Cortes em planos coordenados:
  1. Para y=1:
z = x^2 + 4cdot0^2 = x^2,
que é uma parábola no plano xz.
2. Para x=0:
z = 0 + 4(y-1)^2 = 4(y-1)^2,
que é uma parábola no plano yz.

Passo 5

Juntando tudo, temos um “bowl” elíptico com vértice em (0,1,0), simetria em relação à reta x=0,;y=1 e aberto no sentido positivo de z. As seções horizontais são elipses cada vez maiores à medida que z cresce.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (0,1,0), que abre para cima, cujas curvas de nível são as elipses
x^2 + 4(y-1)^2 = k, k>=0

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