Exercício 2.3.4. Esboce as superfícies descritas pelas equações:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície
O conteúdo é identificação e esboço de superfícies quádricas, em especial o paraboloide elíptico. Para desenhar, vamos (a) encontrar o vértice e o sentido de abertura, (b) analisar curvas de nível e (c) ver cortes em planos coordenados.
Passo 2
Para achar o vértice, igualamos as derivadas parciais a zero:
Substituindo em
dá
. Logo o vértice é
. Como os coeficientes de
e de
são positivos, a superfície abre para cima.
Passo 3
As curvas de nível são dadas por
Isto é uma elipse no plano
, centrada em
. Seus semi-eixos valem
Passo 4
Cortes em planos coordenados:
- Para
:
que é uma parábola no plano
.
2. Para :
2. Para
que é uma parábola no plano
.
Passo 5
Juntando tudo, temos um “bowl” elíptico com vértice em
, simetria em relação à reta
e aberto no sentido positivo de
. As seções horizontais são elipses cada vez maiores à medida que
cresce.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em
, que abre para cima, cujas curvas de nível são as elipses