Determine o ponto do elipsoide
que maximiza
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o ponto do elipsoide
que maximiza a soma
.
Informações relevantes dadas:
- A restrição é a superfície do elipsoide
. - A função objetivo a maximizar é
. - A região onde procuramos o máximo é a superfície do elipsoide (que é compacta), então um máximo global existe para a função contínua
restrita a essa superfície.
Passo 2
Escolha do método (e por quê): vou usar multiplicadores de Lagrange. Explico didaticamente o porquê e a ideia do método.
Intuição e teoria rápida (sem jargões): quando buscamos extremos de
sujeitos a uma restrição
, um ponto interior de máximo (na superfície) deve ter as linhas de maior variação de
alinhadas com as linhas de maior variação da restrição — formalmente, o gradiente de
deve ser proporcional ao gradiente de
. Isso leva à condição dos multiplicadores de Lagrange:
onde
é um número real chamado multiplicador de Lagrange. Aqui a restrição é
Passo 3
Calcular os gradientes (é só derivar componente a componente):
A condição
dá o sistema:
Passo 4
Expressar
em função de
a partir do sistema acima:
Da primeira equação:
Da segunda:
Da terceira:
Observação útil: temos
e
(porque
).
Passo 5
Usar a restrição para determinar
. Substituo
e
na equação do elipsoide:
Logo
portanto
Como
, tem-se
. E
implica
Passo 6
Decidir qual sinal corresponde ao máximo: avaliar a soma
nos dois casos.
Para o sinal positivo:
Para o sinal negativo:
Portanto o sinal positivo dá o maior valor de
, ou seja, é o máximo global (a superfície é compacta, então extremos existem e estes pontos críticos são candidatos; comparação dos valores confirma qual é máximo).
Passo 7
Simplificar as coordenadas para uma forma mais bonita. Usando racionalização:
Logo o ponto que maximiza é