Determine o ponto do elipsoide x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}=1 que maximiza x+y+z.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ponto do elipsoide x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}=1 que maximiza a soma x+y+z.
Informações relevantes dadas:
  • A restrição é a superfície do elipsoide \;x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}=1\;.
  • A função objetivo a maximizar é \;f(x,y,z)=x+y+z\;.
  • A região onde procuramos o máximo é a superfície do elipsoide (que é compacta), então um máximo global existe para a função contínua f restrita a essa superfície.

Passo 2

Escolha do método (e por quê): vou usar multiplicadores de Lagrange. Explico didaticamente o porquê e a ideia do método.
Intuição e teoria rápida (sem jargões): quando buscamos extremos de f sujeitos a uma restrição g(x,y,z)=0, um ponto interior de máximo (na superfície) deve ter as linhas de maior variação de f alinhadas com as linhas de maior variação da restrição — formalmente, o gradiente de f deve ser proporcional ao gradiente de g. Isso leva à condição dos multiplicadores de Lagrange:
\boldsymbol{\nabla} f = \lambda \,\boldsymbol{\nabla} g,
onde \lambda é um número real chamado multiplicador de Lagrange. Aqui a restrição é
g(x,y,z)=x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}-1=0.

Passo 3

Calcular os gradientes (é só derivar componente a componente):
\boldsymbol{\nabla} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right) = (1,1,1).
\boldsymbol{\nabla} g = \left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right) = (2x,6y,6z).
A condição \boldsymbol{\nabla} f = \lambda \,\boldsymbol{\nabla} g dá o sistema:
1 = \lambda \cdot 2x, \qquad 1 = \lambda \cdot 6y, \qquad 1 = \lambda \cdot 6z.

Passo 4

Expressar x,y,z em função de \lambda a partir do sistema acima:
Da primeira equação:
x = \frac{1}{2\lambda}.
Da segunda:
y = \frac{1}{6\lambda}.
Da terceira:
z = \frac{1}{6\lambda}.
Observação útil: temos y=z e x = 3y (porque \frac{1}{2\lambda} = 3\cdot\frac{1}{6\lambda}).

Passo 5

Usar a restrição para determinar \lambda. Substituo x=3y e z=y na equação do elipsoide:
x^{2}+3y^{2}+3z^{2}=1
(3y)^{2} + 3y^{2} + 3y^{2} = 1
9y^{2} + 6y^{2} = 1
15y^{2} = 1.
Logo
y^{2} = \frac{1}{15},
portanto
y = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}.
Como z=y, tem-se z = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}. E x = 3y implica
x = \pm \frac{3}{\sqrt{15}}.

Passo 6

Decidir qual sinal corresponde ao máximo: avaliar a soma f(x,y,z)=x+y+z nos dois casos.
Para o sinal positivo:
f = \frac{3}{\sqrt{15}} + \frac{1}{\sqrt{15}} + \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{5}{\sqrt{15}} > 0.
Para o sinal negativo:
f = -\frac{3}{\sqrt{15}} -\frac{1}{\sqrt{15}} -\frac{1}{\sqrt{15}} = -\frac{5}{\sqrt{15}} < 0.
Portanto o sinal positivo dá o maior valor de f, ou seja, é o máximo global (a superfície é compacta, então extremos existem e estes pontos críticos são candidatos; comparação dos valores confirma qual é máximo).

Passo 7

Simplificar as coordenadas para uma forma mais bonita. Usando racionalização:
\frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}, \qquad \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}.
Logo o ponto que maximiza é
\left(\frac{\sqrt{15}}{5},\,\frac{\sqrt{15}}{15},\,\frac{\sqrt{15}}{15}\right).

Resposta

\left(\dfrac{\sqrt{15}}{5},\dfrac{\sqrt{15}}{15},\dfrac{\sqrt{15}}{15}\right)

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