Use Lagrange para encontrar máximo e mínimo:
  • f(x, y)=3 x+2 y, restrição x{2}+y{2}=1.
  • f(x, y)=x y, restrição x^{2}+4 y^{2}=8.
  • f(x, y)=x^{2}-2 x y+3 y^{2}, restrição x^{2}+2 y^{2}=1.

Passo 1

Você me deu três problemas separados. Vou listar claramente o que cada um pede e os dados fornecidos, sem resolver nada ainda.
  1. Pede máximo e mínimo de
f(x,y)=3x+2y
sujeito à restrição
x^{2}+y^{2}=1.
  1. Pede máximo e mínimo de
f(x,y)=xy
sujeito à restrição
x^{2}+4y^{2}=8.
  1. Pede máximo e mínimo de
f(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2}
sujeito à restrição
x^{2}+2y^{2}=1.
Esses são os três objetivos e as informações (função f e a restrição) para cada caso. A partir do Passo 2 eu começo a resolver usando o método apropriado.

Passo 2

Explicação didática do método de multiplicadores de Lagrange (passo a passo, do jeito que você pode reproduzir na prova).
  • Situação: queremos extremos de \;f(x,y)\; sujeitos a uma restrição do tipo \;g(x,y)=0\;.
  • Ideia geométrica simples: no ponto ótimo a superfície de nível de f é tangente à curva dada por g=0. Isso implica que os vetores normais a essas duas superfícies são paralelos. O gradiente é exatamente o vetor normal.
  • Fórmula do método: montar o sistema
\boldsymbol{\nabla} f(x,y) = \lambda\,\boldsymbol{\nabla} g(x,y),
junto com a restrição g(x,y)=0. Aqui \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real desconhecido).
  • Como aplicar na prática:
    1. Calcule \boldsymbol{\nabla} f=(f_x,f_y) e \boldsymbol{\nabla} g=(g_x,g_y).
    2. Escreva as duas equações escalares f_x=\lambda g_x e f_y=\lambda g_y e a restrição g=0.
    3. Resolva o sistema para x,y,\lambda. Pode ser necessário considerar casos especiais (como x=0 ou y=0) que anulam coeficientes.
    4. Avalie f em todos os candidatos encontrados. Como as restrições dadas são elipses ou círculo (conjuntos compactos), os valores máximo e mínimo existem e são os maiores/menores valores entre os candidatos.
  • Observação prática: não existe um “teste direto” simples com matrizes aqui; o procedimento seguro é obter todos os candidatos e comparar os valores de f.
Agora aplico esse método a cada questão com muitas contas explicadas.

Passo 3

Resolução do problema 1: \;f(x,y)=3x+2y, com \;x^{2}+y^{2}=1.
  1. Defino a função de restrição como
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.
  1. Calculo os gradientes:
\boldsymbol{\nabla} f=(f_x,f_y)=(3,2),
\boldsymbol{\nabla} g=(g_x,g_y)=(2x,2y).
  1. Escrevo as equações de Lagrange \boldsymbol{\nabla} f=\lambda\boldsymbol{\nabla} g:
3 = \lambda\cdot 2x,\qquad 2 = \lambda\cdot 2y,
mais a restrição
x^{2}+y^{2}=1.
  1. Das duas primeiras equações isolo \lambda:
\lambda=\frac{3}{2x},\qquad \lambda=\frac{2}{2y}=\frac{1}{y}.
Igualando as duas expressões para \lambda:
\frac{3}{2x}=\frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad 3y=2x\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{3}x.
  1. Substituo na restrição:
x^{2}+\left(\frac{2}{3}x\right)^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+\frac{4}{9}x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{13}{9}x^{2}=1
\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{9}{13}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{3}{\sqrt{13}}.
  1. Obtenho y a partir de y=\frac{2}{3}x:
y=\pm\frac{2}{\sqrt{13}},
com o mesmo sinal de x (porque y=\tfrac{2}{3}x).
7. Avalio f nesses pontos:
f\!\left(\frac{3}{\sqrt{13}},\frac{2}{\sqrt{13}}\right)=3\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}+2\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{9+4}{\sqrt{13}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13},
f\!\left(-\frac{3}{\sqrt{13}},-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)=-\sqrt{13}.
  1. Conclusão para o problema 1: máximo \sqrt{13} em \left(\tfrac{3}{\sqrt{13}},\tfrac{2}{\sqrt{13}}\right) e mínimo -\sqrt{13} em \left(-\tfrac{3}{\sqrt{13}},-\tfrac{2}{\sqrt{13}}\right).

Passo 4

Resolução do problema 2: \;f(x,y)=xy, com \;x^{2}+4y^{2}=8.
  1. Defino
g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-8.
  1. Calculo os gradientes:
\boldsymbol{\nabla} f=(y,x),
\boldsymbol{\nabla} g=(2x,8y).
  1. Equações de Lagrange:
y=\lambda\cdot 2x,\qquad x=\lambda\cdot 8y,
com a restrição
x^{2}+4y^{2}=8.
  1. Se x\neq 0 e y\neq 0 posso eliminar \lambda. Das duas equações:
\lambda=\frac{y}{2x}=\frac{x}{8y}.
Igualando-as:
\frac{y}{2x}=\frac{x}{8y}\quad\Rightarrow\quad 8y^{2}=2x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4y^{2}.
Isto dá x=\pm 2y.
5. Substituo na restrição. Se x=2y:
(2y)^{2}+4y^{2}=8\quad\Rightarrow\quad 4y^{2}+4y^{2}=8\quad\Rightarrow\quad 8y^{2}=8\quad\Rightarrow\quad y^{2}=1.
Logo y=\pm 1 e x=2y dá os pontos (2,1) e (-2,-1).
Se x=-2y:
(-2y)^{2}+4y^{2}=4y^{2}+4y^{2}=8\quad\Rightarrow\quad y^{2}=1,
resultando em y=\pm 1 e x=-2y, i.e. (-2,1) e (2,-1).
6. Avalio f(x,y)=xy nos quatro candidatos:
f(2,1)=2,\qquad f(-2,-1)=2,
f(-2,1)=-2,\qquad f(2,-1)=-2.
  1. Verifico os casos especiais x=0 ou y=0: se x=0 então a restrição dá 4y^{2}=8\Rightarrow y^{2}=2 mas nas equações de Lagrange teríamos y=\lambda\cdot 0\Rightarrow y=0, contradição. Se y=0 similarmente contraditório. Então não há outros candidatos.
  2. Conclusão para o problema 2: máximos f=2 em (2,1) e (-2,-1); mínimos f=-2 em (-2,1) e (2,-1).

Passo 5

Resolução do problema 3: \;f(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2}, com \;x^{2}+2y^{2}=1.
  1. Defino
g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-1.
  1. Calculo os gradientes:
\boldsymbol{\nabla} f=(f_x,f_y)=(2x-2y,\,-2x+6y),
\boldsymbol{\nabla} g=(2x,4y).
  1. Escrevo as equações de Lagrange \boldsymbol{\nabla} f=\lambda\boldsymbol{\nabla} g:
2x-2y=\lambda\cdot 2x,\qquad -2x+6y=\lambda\cdot 4y,
mais a restrição
x^{2}+2y^{2}=1.
  1. Divido as equações por 2 para simplificar:
x-y=\lambda x,\qquad -x+3y=2\lambda y.
Reescrevo para isolar convenientemente:
y=x(1-\lambda),\qquad x=y(3-2\lambda).
  1. Assumo primeiro x\neq 0 (vamos checar x=0 depois). Substituo y da primeira na segunda:
x = \big(x(1-\lambda)\big)(3-2\lambda).
Se x\neq 0 posso dividir por x e obter:
1=(1-\lambda)(3-2\lambda).
  1. Expando e resolvo a quadrática em \lambda:
(1-\lambda)(3-2\lambda)=3-5\lambda+2\lambda^{2}.
Igualando a 1:
3-5\lambda+2\lambda^{2}=1\quad\Rightarrow\quad 2\lambda^{2}-5\lambda+2=0.
Delta \Delta=(-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9. Assim
\lambda=\frac{5\pm 3}{4}.
Portanto \lambda=2 ou \lambda=\tfrac{1}{2}.
7. Caso \lambda=2: da relação y=x(1-\lambda) vem
y=x(1-2)=-x.
Substituo na restrição:
x^{2}+2(-x)^{2}=x^{2}+2x^{2}=3x^{2}=1\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{3}.
Logo x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, e y=\mp\frac{1}{\sqrt{3}}. Avalio f:
f(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2}.
Com y=-x temos f=x^{2}-2x(-x)+3x^{2}=x^{2}+2x^{2}+3x^{2}=6x^{2}. Como x^{2}=\tfrac{1}{3},
f=6\cdot\frac{1}{3}=2.
  1. Caso \lambda=\tfrac{1}{2}: vem
y=x\Big(1-\tfrac{1}{2}\Big)=\frac{x}{2}.
Substituo na restrição:
x^{2}+2\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=x^{2}+2\cdot\frac{x^{2}}{4}=x^{2}+\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}=1
\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}.
Então y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}. Avalio f com y=\tfrac{x}{2}:
f=x^{2}-2x\cdot\frac{x}{2}+3\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=x^{2}-x^{2}+\frac{3}{4}x^{2}=\frac{3}{4}x^{2}.
Com x^{2}=\tfrac{2}{3} obtemos
f=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}.
  1. Caso especial x=0: da equação x-y=\lambda x teríamos -y=0\Rightarrow y=0, que não satisfaz a restrição x^{2}+2y^{2}=1. Logo não há solução com x=0.
  2. Conclusão para o problema 3: os valores obtidos são f=2 (em dois pontos) e f=\tfrac{1}{2} (em dois pontos). Assim f_{\max}=2 em \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right); f_{\min}=\tfrac{1}{2} em \left(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) e \left(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},-\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).
    (Se preferir coordenadas com radicais simplificados: \sqrt{\tfrac{2}{3}}=\tfrac{\sqrt{6}}{3} e \tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\tfrac{\sqrt{6}}{6}.)

Resposta

(1) Máx \sqrt{13} em \left(\tfrac{3}{\sqrt{13}},\tfrac{2}{\sqrt{13}}\right); Mín -\sqrt{13} em \left(-\tfrac{3}{\sqrt{13}},-\tfrac{2}{\sqrt{13}}\right).\n(2) Máx 2 em (2,1) e (-2,-1); Mín -2 em (-2,1) e (2,-1).\n(3) Máx 2 em \left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) e \left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right); Mín \tfrac{1}{2} em \left(\sqrt{\tfrac{2}{3}},\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) e \left(-\sqrt{\tfrac{2}{3}},-\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right).

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