Use Lagrange para encontrar máximo e mínimo:
- f(x, y)=3 x+2 y, restrição x{2}+y{2}=1.
- f(x, y)=x y, restrição x^{2}+4 y^{2}=8.
- f(x, y)=x^{2}-2 x y+3 y^{2}, restrição x^{2}+2 y^{2}=1.
Passo 1
Você me deu três problemas separados. Vou listar claramente o que cada um pede e os dados fornecidos, sem resolver nada ainda.
- Pede máximo e mínimo de
sujeito à restrição
- Pede máximo e mínimo de
sujeito à restrição
- Pede máximo e mínimo de
sujeito à restrição
Esses são os três objetivos e as informações (função
e a restrição) para cada caso. A partir do Passo 2 eu começo a resolver usando o método apropriado.
Passo 2
Explicação didática do método de multiplicadores de Lagrange (passo a passo, do jeito que você pode reproduzir na prova).
- Situação: queremos extremos de
sujeitos a uma restrição do tipo . - Ideia geométrica simples: no ponto ótimo a superfície de nível de
é tangente à curva dada por . Isso implica que os vetores normais a essas duas superfícies são paralelos. O gradiente é exatamente o vetor normal. - Fórmula do método: montar o sistema
junto com a restrição
. Aqui
é o multiplicador de Lagrange (um número real desconhecido).
- Como aplicar na prática:
- Calcule
e . - Escreva as duas equações escalares
e e a restrição . - Resolva o sistema para
. Pode ser necessário considerar casos especiais (como ou ) que anulam coeficientes. - Avalie
em todos os candidatos encontrados. Como as restrições dadas são elipses ou círculo (conjuntos compactos), os valores máximo e mínimo existem e são os maiores/menores valores entre os candidatos.
- Calcule
- Observação prática: não existe um “teste direto” simples com matrizes aqui; o procedimento seguro é obter todos os candidatos e comparar os valores de
.
Agora aplico esse método a cada questão com muitas contas explicadas.
Passo 3
Resolução do problema 1:
, com
.
- Defino a função de restrição como
- Calculo os gradientes:
- Escrevo as equações de Lagrange
:
mais a restrição
- Das duas primeiras equações isolo
:
Igualando as duas expressões para
:
- Substituo na restrição:
- Obtenho
a partir de :
com o mesmo sinal de
(porque
).
7. Avalio nesses pontos:
7. Avalio
- Conclusão para o problema 1: máximo
em e mínimo em .
Passo 4
Resolução do problema 2:
, com
.
- Defino
- Calculo os gradientes:
- Equações de Lagrange:
com a restrição
- Se
e posso eliminar . Das duas equações:
Igualando-as:
Isto dá
.
5. Substituo na restrição. Se :
5. Substituo na restrição. Se
Logo
e
dá os pontos
e
.
Se :
Se
resultando em
e
, i.e.
e
.
6. Avalio nos quatro candidatos:
6. Avalio
- Verifico os casos especiais
ou : se então a restrição dá mas nas equações de Lagrange teríamos , contradição. Se similarmente contraditório. Então não há outros candidatos. - Conclusão para o problema 2: máximos
em e ; mínimos em e .
Passo 5
Resolução do problema 3:
, com
.
- Defino
- Calculo os gradientes:
- Escrevo as equações de Lagrange
:
mais a restrição
- Divido as equações por
para simplificar:
Reescrevo para isolar convenientemente:
- Assumo primeiro
(vamos checar depois). Substituo da primeira na segunda:
Se
posso dividir por
e obter:
- Expando e resolvo a quadrática em
:
Igualando a 1:
Delta
. Assim
Portanto
ou
.
7. Caso : da relação
vem
7. Caso
Substituo na restrição:
Logo
, e
. Avalio
:
Com
temos
. Como
,
- Caso
: vem
Substituo na restrição:
Então
. Avalio
com
:
Com
obtemos
- Caso especial
: da equação teríamos , que não satisfaz a restrição . Logo não há solução com . - Conclusão para o problema 3: os valores obtidos são
(em dois pontos) e (em dois pontos). Assim em e ; em e .
(Se preferir coordenadas com radicais simplificados:e .)
Resposta
(1) Máx
em
; Mín
em
.\n(2) Máx
em
e
; Mín
em
e
.\n(3) Máx
em
e
; Mín
em
e
.