Estude f(x, y)=y+x^{3} com restrição y-x^{3}=0 e mostre que o ponto obtido por Lagrange não é extremo local.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=y+x^{3} e a restrição y-x^{3}=0.
O que é pedido: encontrar o ponto crítico fornecido pelo método de Lagrange e mostrar que esse ponto não é um extremo local do problema restrito (isto é, não é máximo nem mínimo quando se exige y-x^{3}=0).
Informações relevantes fornecidas: a restrição pode ser escrita explicitamente como y=x^{3}.

Passo 2

Vou aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar candidatos a extremos sob a restrição. Ideia rápida (didática): introduzimos um multiplicador \lambda que penaliza a violação da restrição e procuramos pontos estacionários da função lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\bigl(y-x^{3}\bigr).
Aqui \lambda é uma variável auxiliar; os pontos que satisfazem as equações \nabla_{x,y,\lambda}\mathcal{L}=0 e a restrição são os candidatos a extremos restritos.

Passo 3

Escrevo explicitamente a lagrangiana:
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=y+x^{3}-\lambda\bigl(y-x^{3}\bigr).
Calculo as derivadas parciais (cada passo explicado):
  • \displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}: a derivada de y em relação a x é 0; a de x^{3} é 3x^{2}; a de -\lambda y em relação a x é 0 (porque \lambda e y são tratados como constantes ao derivar em relação a x); a de +\lambda x^{3} é 3\lambda x^{2}. Portanto
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=3x^{2}+3\lambda x^{2}=3x^{2}(1+\lambda).
  • \displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}: derivando \mathcal{L} em relação a y obtemos 1-\lambda, porque y aparece como +y e como -\lambda y. Assim
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=1-\lambda.
  • \displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} dá a própria restrição (com sinal negativo aqui):
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(y-x^{3}).

Passo 4

Agora resolvo o sistema
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad y-x^{3}=0.
Da segunda equação 1-\lambda=0 vem
\lambda=1.
Substituindo em \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0 obtemos
3x^{2}(1+\lambda)=3x^{2}(1+1)=6x^{2}=0,
portanto
x=0.
Usando a restrição y=x^{3} vem
y=0.
Assim o método de Lagrange entrega o ponto candidato (0,0) (com \lambda=1).

Passo 5

Agora precisamos verificar se (0,0) é realmente um extremo local restrito. Como a restrição é explícita y=x^{3}, é natural reduzir o problema a uma variável: substituo y=x^{3} em f para obter a função restrita de uma variável
g(x)=f\bigl(x,x^{3}\bigr)=x^{3}+x^{3}=2x^{3}.
Estudamos g perto de x=0: se g tiver máximo ou mínimo em 0, então (0,0) seria extremo restrito; caso contrário, não é.

Passo 6

Analiso g(x)=2x^{3}. Primeiro derivadas rápidas:
g'(x)=6x^{2},\qquad g''(x)=12x.
Em x=0 temos g'(0)=0 e g''(0)=0, então o teste da segunda derivada é inconclusivo. Mas podemos avaliar os valores de g para x pequenos positivos e negativos para ver o comportamento:
  • Para x=\varepsilon>0 pequeno, g(\varepsilon)=2\varepsilon^{3}>0.
  • Para x=-\varepsilon<0 pequeno, g(-\varepsilon)=2(-\varepsilon)^{3}=-2\varepsilon^{3}<0.
    Assim, arbitrariamente perto de x=0 a função g assume valores positivos e negativos. Em termos da restrição isso significa: existe sequência de pontos da curva y=x^{3} arbitrariamente próximos de (0,0) onde f é maior que f(0,0)=0 e outra sequência onde f é menor que 0. Logo não há nem mínimo nem máximo local em (0,0) quando restritos à curva.

Passo 7

Interpretação intuitiva e conclusão final: sobre a curva y=x^{3} a função restrita é 2x^{3}, que cruza o valor zero com mudança de sinal (é ímpar em x). Portanto o ponto crítico encontrado por Lagrange (0,0) é apenas um ponto de inflexão ao longo da curva restrita — não é extremo local.

Resposta

Ponto crítico pelo método de Lagrange: (0,0).
O ponto (0,0) não é extremo local (nem mínimo nem máximo) quando se impõe y-x^{3}=0.

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