Estude
com restrição
e mostre que o ponto obtido por Lagrange não é extremo local.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a restrição
.
O que é pedido: encontrar o ponto crítico fornecido pelo método de Lagrange e mostrar que esse ponto não é um extremo local do problema restrito (isto é, não é máximo nem mínimo quando se exige ).
Informações relevantes fornecidas: a restrição pode ser escrita explicitamente como .
O que é pedido: encontrar o ponto crítico fornecido pelo método de Lagrange e mostrar que esse ponto não é um extremo local do problema restrito (isto é, não é máximo nem mínimo quando se exige
Informações relevantes fornecidas: a restrição pode ser escrita explicitamente como
Passo 2
Vou aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar candidatos a extremos sob a restrição. Ideia rápida (didática): introduzimos um multiplicador
que penaliza a violação da restrição e procuramos pontos estacionários da função lagrangiana
Aqui
é uma variável auxiliar; os pontos que satisfazem as equações
e a restrição são os candidatos a extremos restritos.
Passo 3
Escrevo explicitamente a lagrangiana:
Calculo as derivadas parciais (cada passo explicado):
-
: a derivada de em relação a é ; a de é ; a de em relação a é (porque e são tratados como constantes ao derivar em relação a ); a de é . Portanto
-
: derivando em relação a obtemos , porque aparece como e como . Assim
-
dá a própria restrição (com sinal negativo aqui):
Passo 4
Agora resolvo o sistema
Da segunda equação
vem
Substituindo em
obtemos
portanto
Usando a restrição
vem
Assim o método de Lagrange entrega o ponto candidato
(com
).
Passo 5
Agora precisamos verificar se
é realmente um extremo local restrito. Como a restrição é explícita
, é natural reduzir o problema a uma variável: substituo
em
para obter a função restrita de uma variável
Estudamos
perto de
: se
tiver máximo ou mínimo em
, então
seria extremo restrito; caso contrário, não é.
Passo 6
Analiso
. Primeiro derivadas rápidas:
Em
temos
e
, então o teste da segunda derivada é inconclusivo. Mas podemos avaliar os valores de
para
pequenos positivos e negativos para ver o comportamento:
- Para
pequeno, . - Para
pequeno, .
Assim, arbitrariamente perto dea função assume valores positivos e negativos. Em termos da restrição isso significa: existe sequência de pontos da curva arbitrariamente próximos de onde é maior que e outra sequência onde é menor que . Logo não há nem mínimo nem máximo local em quando restritos à curva.
Passo 7
Interpretação intuitiva e conclusão final: sobre a curva
a função restrita é
, que cruza o valor zero com mudança de sinal (é ímpar em
). Portanto o ponto crítico encontrado por Lagrange
é apenas um ponto de inflexão ao longo da curva restrita — não é extremo local.
Resposta
Ponto crítico pelo método de Lagrange:
.
O ponto não é extremo local (nem mínimo nem máximo) quando se impõe
.
O ponto