Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais: y(0)=1 ; doty(0)=0,3 ; ddoty(0)=0 para a equação diferencial d^3 yd t^3+d^2 yd t^2+2 d yd t=8 d^2 xd t^2-d xd t+2,2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o ponto de equilíbrio para entrada nula com as condições iniciais dadas. Vamos trabalhar com a equação diferencial:
d^3 yd t^3 + d^2 yd t^2 + 2 d yd t = 8 d^2 xd t^2 - d xd t + 2.2 x
Como a entrada é nula, isso significa que . Então, vamos simplificar a equação para encontrar o ponto de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, substituímos d^3 yd t^3 + d^2 yd t^2 + 2 d yd t = 0 na equação diferencial:
Agora, temos uma equação diferencial homogênea de terceira ordem.

Passo 3

O ponto de equilíbrio ocorre quando todas as derivadas de d yd t = 0, d^2 yd t^2 = 0, d^3 yd t^3 = 0 em relação a são iguais a zero. Ou seja:

Passo 4

Substituindo essas condições na equação simplificada:
0 + 0 + 2 times 0 = 0
Isso nos mostra que a equação é satisfeita para qualquer valor constante de .

Passo 5

No entanto, para encontrar o valor específico do ponto de equilíbrio, consideramos que, em equilíbrio, o sistema não está oscilando nem mudando, então permanece constante. Com as condições iniciais dadas ( , , ), mas no equilíbrio, todas as derivadas são zero, indicando que deve ser igual a zero para manter o equilíbrio.

Resposta

O ponto de equilíbrio para entrada nula é .

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