Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais:
para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o ponto de equilíbrio para entrada nula com as condições iniciais dadas. Vamos trabalhar com a equação diferencial:
Como a entrada é nula, isso significa que
. Então, vamos simplificar a equação para encontrar o ponto de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na equação diferencial:
Agora, temos uma equação diferencial homogênea de terceira ordem.
Passo 3
O ponto de equilíbrio ocorre quando todas as derivadas de
em relação a
são iguais a zero. Ou seja:
Passo 4
Substituindo essas condições na equação simplificada:
Isso nos mostra que a equação é satisfeita para qualquer valor constante de
.
Passo 5
No entanto, para encontrar o valor específico do ponto de equilíbrio, consideramos que, em equilíbrio, o sistema não está oscilando nem mudando, então
permanece constante. Com as condições iniciais dadas (
,
,
), mas no equilíbrio, todas as derivadas são zero, indicando que
deve ser igual a zero para manter o equilíbrio.
Resposta
O ponto de equilíbrio para entrada nula é
.