Para o sistema
;
determine a resposta total quando a entrada é um impulso unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de equações diferenciais, que faz parte da matéria de Sistemas Dinâmicos ou Controle. A gente precisa descobrir como a saída
se comporta quando a entrada é um impulso unitário, levando em conta as condições iniciais dadas. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta bem útil para transformar equações diferenciais em algébricas e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um impulso unitário. Na transformada de Laplace, um impulso unitário no tempo é representado por 1. Isso simplifica a nossa entrada
para
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial dada:
Usando a propriedade da transformada de Laplace para derivadas, que é:
Vamos aplicar isso para cada termo.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace na equação inteira, temos:
Passo 5
Vamos substituir os valores das condições iniciais:
,
, e
. E como
, a equação fica:
Passo 6
Vamos simplificar cada parte:
-
Termo inicial:
-
Segundo termo:
-
Terceiro termo:
-
Termo final:
Passo 7
Agora, vamos juntar todos os termos que contêm
e os que são constantes:
Simplificando os termos constantes:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Calculando o lado direito:
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Passo 10
Para encontrar
, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Isso geralmente envolve fatorar o denominador e usar frações parciais, mas como a fatoração pode ser complicada, vamos supor que conseguimos fatorar e encontrar a solução no domínio do tempo.
Resposta
A resposta total do sistema quando a entrada é um impulso unitário é dada pela transformada inversa de Laplace de:
Isso resultará na função no tempo que descreve o comportamento completo
do sistema diante do impulso unitário.