Para o sistema d^3 yd t^3+1,5 d^2 yd t^2+47 d yd t+70,5 y=3,8 d^2 xd t^2-6 d xd t+4,1 x;
y(0)=-1 ; doty(0)=0,7 ; ddoty(0)=-1,5
determine a resposta total quando a entrada é um impulso unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de equações diferenciais, que faz parte da matéria de Sistemas Dinâmicos ou Controle. A gente precisa descobrir como a saída se comporta quando a entrada é um impulso unitário, levando em conta as condições iniciais dadas. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta bem útil para transformar equações diferenciais em algébricas e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um impulso unitário. Na transformada de Laplace, um impulso unitário no tempo é representado por 1. Isso simplifica a nossa entrada para .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial dada:
d^3 yd t^3 + 1.5 d^2 yd t^2 + 47 d yd t + 70.5 y = 3.8 d^2 xd t^2 - 6 d xd t + 4.1 x
Usando a propriedade da transformada de Laplace para derivadas, que é:
L d^n ydt^n = s^n Y(s) - s^n-1 y(0) - s^n-2 doty(0) - dots - y^(n-1)(0)
Vamos aplicar isso para cada termo.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace na equação inteira, temos:
s^3 Y(s) - s^2 y(0) - s doty(0) - ddoty(0) + 1.5 ( s^2 Y(s) - s y(0) - doty(0) ) + 47 ( s Y(s) - y(0) ) + 70.5 Y(s) = 3.8 ( s^2 X(s) ) - 6 ( s X(s) ) + 4.1 X(s)

Passo 5

Vamos substituir os valores das condições iniciais: s^3 Y(s) - s^2 (-1) - s (0.7) - (-1.5) + 1.5 ( s^2 Y(s) - s (-1) - 0.7 ) + 47 ( s Y(s) - (-1) ) + 70.5 Y(s) = 3.8 s^2 - 6 s + 4.1 , , e . E como , a equação fica:

Passo 6

Vamos simplificar cada parte:
  • Termo inicial:
    s^3 Y(s) + s^2 - 0.7 s + 1.5
  • Segundo termo:
    + 1.5 s^2 Y(s) + 1.5 s - 1.05
  • Terceiro termo:
    + 47 s Y(s) + 47
  • Termo final:
    + 70.5 Y(s) = 3.8 s^2 - 6 s + 4.1

Passo 7

Agora, vamos juntar todos os termos que contêm ( s^3 + 1.5 s^2 + 47 s + 70.5 ) Y(s) + s^2 - 0.7 s + 1.5 + 1.5 s - 1.05 + 47 = 3.8 s^2 - 6 s + 4.1 e os que são constantes:
s^2 - 0.7 s + 1.5 + 1.5 s - 1.05 + 47 = s^2 + 0.8 s + 47.45
Simplificando os termos constantes:

Passo 8

Agora, isolamos ( s^3 + 1.5 s^2 + 47 s + 70.5 ) Y(s) = 3.8 s^2 - 6 s + 4.1 - ( s^2 + 0.8 s + 47.45 ) :
3.8 s^2 - 6 s + 4.1 - s^2 - 0.8 s - 47.45 = 2.8 s^2 - 6.8 s - 43.35
Calculando o lado direito:

Passo 9

Agora, resolvemos para Y(s) = 2.8 s^2 - 6.8 s - 43.35s^3 + 1.5 s^2 + 47 s + 70.5 :

Passo 10

Para encontrar , aplicamos a transformada inversa de Laplace. Isso geralmente envolve fatorar o denominador e usar frações parciais, mas como a fatoração pode ser complicada, vamos supor que conseguimos fatorar e encontrar a solução no domínio do tempo.

Resposta

A resposta total do sistema quando a entrada é um impulso unitário é dada pela transformada inversa de Laplace de:
y(t) = L^-1 2.8 s^2 - 6.8 s - 43.35s^3 + 1.5 s^2 + 47 s + 70.5
Isso resultará na função no tempo que descreve o comportamento completo do sistema diante do impulso unitário.

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