Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais: y(0)=1 ; doty(0)=0,3 ; ddoty(0)=0 para a equação diferencial d^3 yd t^3+5 d^2 yd t^2+7 d yd t+3 y=4 d xd t-6 x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem que descreve como a variável se comporta ao longo do tempo. As condições iniciais são dadas para , sua primeira derivada , e a segunda derivada . A gente precisa encontrar o ponto de equilíbrio quando a entrada é nula, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender de equações diferenciais e pontos de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ponto de equilíbrio. Em sistemas dinâmicos, o ponto de equilíbrio é onde todas as derivadas da variável dependente são zero. Isso significa que, no equilíbrio, a variável não está mudando mais com o tempo.

Passo 3

Vamos começar substituindo a entrada d^3 yd t^3 + 5 d^2 yd t^2 + 7 d yd t + 3 y = 4 d xd t - 6 x na equação diferencial dada:
d xd t = 0 e x = 0
Como d^3 yd t^3 + 5 d^2 yd t^2 + 7 d yd t + 3 y = 0 , temos:
Então a equação simplifica para:

Passo 4

No ponto de equilíbrio, todas as derivadas de 0 + 0 + 0 + 3 y = 0 são iguais a zero. Então, substituímos , , e na equação:

Passo 5

A equação simplificada fica:
3 y = 0
Para encontrar o ponto de equilíbrio, resolvemos para y = 0 :

Resposta

O ponto de equilíbrio para entrada nula é .

Exercícios relacionados