Determine o ponto de equilíbrio para entrada nula para as seguintes condições iniciais:
para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem que descreve como a variável
se comporta ao longo do tempo. As condições iniciais são dadas para
, sua primeira derivada
, e a segunda derivada
. A gente precisa encontrar o ponto de equilíbrio quando a entrada
é nula, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender de equações diferenciais e pontos de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ponto de equilíbrio. Em sistemas dinâmicos, o ponto de equilíbrio é onde todas as derivadas da variável dependente são zero. Isso significa que, no equilíbrio, a variável
não está mudando mais com o tempo.
Passo 3
Vamos começar substituindo a entrada
na equação diferencial dada:
Como
, temos:
Então a equação simplifica para:
Passo 4
No ponto de equilíbrio, todas as derivadas de
são iguais a zero. Então, substituímos
,
, e
na equação:
Passo 5
A equação simplificada fica:
Para encontrar o ponto de equilíbrio, resolvemos para
:
Resposta
O ponto de equilíbrio para entrada nula é
.