Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y
na região fechada e limitada
x^{2}+y^{2} \leq 9

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que nos dão.
  • Pede: determinar os valores máximo e mínimo absolutos da função \,f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-4y, na região fechada e limitada \,x^{2}+y^{2}\le 9.
  • Região: disco fechado de centro na origem e raio 3, ou seja o conjunto \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
  • Informação útil imediata que temos do enunciado: a função é um polinômio (portanto contínua) e a região é fechada e limitada (compacta).
Observação: por causa da continuidade e da compacidade da região, sabemos que existem máximo e mínimo absolutos; agora precisamos encontrá-los e os pontos onde ocorrem.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicada de forma simples).
  • A função é uma quadrática em x,y. Uma técnica direta e básica é completar quadrados para reescrever f como soma de quadrados deslocados mais ou menos uma constante. Isso costuma transformar o problema num problema geométrico de distâncias (muito intuitivo).
  • Alternativa (mais técnica) seria usar multiplicadores de Lagrange na fronteira, mas completar quadrados + argumento geométrico é mais rápido e elementar para esta questão.

Passo 3

Completar quadrados passo a passo — reescrever f em termos de distâncias.
Começamos com
f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x-4y.
Agrupando termos por variável e completando o quadrado:
x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.
Somando:
f(x,y)=(x-1)^{2}-1+(y-2)^{2}-4=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}-5.
Interpretação geométrica: (x-1)^{2}+(y-2)^{2} é o quadrado da distância entre o ponto (x,y) e o ponto fixo (1,2). Se chamarmos d essa distância, temos
d^{2}=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}, \qquad\text{logo}\qquad f(x,y)=d^{2}-5.

Passo 4

O que isso significa para mínimos e máximos na região dada.
  • Como f(x,y)=d^{2}-5, minimizar f equivale a minimizar d^{2} (ou d) e maximizar f equivale a maximizar d^{2} (ou d).
  • Assim o problema reduz-se a encontrar, dentro do disco \{x^{2}+y^{2}\le 9\}, os pontos que são mais próximos e mais distantes do ponto (1,2).

Passo 5

Verificar se o ponto (1,2) está dentro do disco — isso decide se o mínimo está no interior.
Calculamos a distância do centro do disco (origem) ao ponto (1,2):
\|(1,2)\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.
Como \sqrt{5}\approx 2{,}236<3, o ponto (1,2) está estritamente dentro do disco. Portanto o ponto da região que minimiza a distância a (1,2) é justamente (1,2) (distância zero), e assim o mínimo absoluto de f ocorre em (1,2).
Calcular o valor mínimo:
f(1,2)=(1-1)^{2}+(2-2)^{2}-5=0+0-5=-5.

Passo 6

Determinar o máximo absoluto — ponto mais distante de (1,2) dentro do disco.
  • O ponto da região que está mais longe de (1,2) deve estar na fronteira do disco ( x^{2}+y^{2}=9), porque afastar-se de (1,2) aumenta d e para maximizar d dentro de um disco se chega ao contorno.
  • Geometricamente, para um ponto a=(1,2) e um disco de centro O=(0,0) e raio 3, o ponto do disco mais distante de a é o ponto da circunferência situado na direção oposta a a em relação a O. Assim a distância máxima entre a e um ponto do disco é
d_{\max}=\|a\|+3=\sqrt{5}+3.
(Explicação curta: o maior comprimento da cadeia ponto a — centro O — ponto x na circunferência é obtido quando x está colinear com O e a em sentido oposto, somando as distâncias \|a\| e 3.)
Agora calculamos o valor máximo de f:
f_{\max}=d_{\max}^{2}-5=(\sqrt{5}+3)^{2}-5.
Expandindo:
(\sqrt{5}+3)^{2}=5+6\sqrt{5}+9=14+6\sqrt{5},
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f_{\max}=14+6\sqrt{5}-5=9+6\sqrt{5}.
Também podemos dar as coordenadas do ponto onde o máximo ocorre: é o ponto da circunferência que está na direção oposta a (1,2), ou seja
(x_{\max},y_{\max})=-3\frac{(1,2)}{\sqrt{5}}=\left(-\frac{3}{\sqrt{5}},-\frac{6}{\sqrt{5}}\right).
Verificação rápida: esse ponto satisfaz \,x^{2}+y^{2}=9 e a distância até (1,2) é \sqrt{5}+3 como requerido.

Resposta

Mínimo absoluto: -5 em (1,2)
Máximo absoluto: 9+6\sqrt{5} em \left(-\dfrac{3}{\sqrt{5}},-\dfrac{6}{\sqrt{5}}\right)

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