Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
na região fechada e limitada
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que nos dão.
- Pede: determinar os valores máximo e mínimo absolutos da função
, na região fechada e limitada . - Região: disco fechado de centro na origem e raio
, ou seja o conjunto . - Informação útil imediata que temos do enunciado: a função é um polinômio (portanto contínua) e a região é fechada e limitada (compacta).
Observação: por causa da continuidade e da compacidade da região, sabemos que existem máximo e mínimo absolutos; agora precisamos encontrá-los e os pontos onde ocorrem.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicada de forma simples).
- A função é uma quadrática em
. Uma técnica direta e básica é completar quadrados para reescrever como soma de quadrados deslocados mais ou menos uma constante. Isso costuma transformar o problema num problema geométrico de distâncias (muito intuitivo). - Alternativa (mais técnica) seria usar multiplicadores de Lagrange na fronteira, mas completar quadrados + argumento geométrico é mais rápido e elementar para esta questão.
Passo 3
Completar quadrados passo a passo — reescrever
em termos de distâncias.
Começamos com
Agrupando termos por variável e completando o quadrado:
Somando:
Interpretação geométrica:
é o quadrado da distância entre o ponto
e o ponto fixo
. Se chamarmos
essa distância, temos
Passo 4
O que isso significa para mínimos e máximos na região dada.
- Como
, minimizar equivale a minimizar (ou ) e maximizar equivale a maximizar (ou ). - Assim o problema reduz-se a encontrar, dentro do disco
, os pontos que são mais próximos e mais distantes do ponto .
Passo 5
Verificar se o ponto
está dentro do disco — isso decide se o mínimo está no interior.
Calculamos a distância do centro do disco (origem) ao ponto
:
Como
, o ponto
está estritamente dentro do disco. Portanto o ponto da região que minimiza a distância a
é justamente
(distância zero), e assim o mínimo absoluto de
ocorre em
.
Calcular o valor mínimo:
Passo 6
Determinar o máximo absoluto — ponto mais distante de
dentro do disco.
- O ponto da região que está mais longe de
deve estar na fronteira do disco ( ), porque afastar-se de aumenta e para maximizar dentro de um disco se chega ao contorno. - Geometricamente, para um ponto
e um disco de centro e raio , o ponto do disco mais distante de é o ponto da circunferência situado na direção oposta a em relação a . Assim a distância máxima entre e um ponto do disco é
(Explicação curta: o maior comprimento da cadeia ponto
— centro
— ponto
na circunferência é obtido quando
está colinear com
e
em sentido oposto, somando as distâncias
e
.)
Agora calculamos o valor máximo de
:
Expandindo:
logo
Também podemos dar as coordenadas do ponto onde o máximo ocorre: é o ponto da circunferência que está na direção oposta a
, ou seja
Verificação rápida: esse ponto satisfaz
e a distância até
é
como requerido.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
Máximo absoluto: