Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
(e) x^2a^2-y^2b^2+z^2c^2=1, P=(x0, y0, z0)

Passo 1

O exercício pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície implícita definida por x^2a^2 - y^2b^2 + z^2c^2 = 1 no ponto P = (x0, y0, z0). Vamos usar derivadas parciais e o gradiente para resolver.

Passo 2

Definimos a função auxiliar que gera a superfície e lembramos que, para F(x,y,z)=1, o gradiente em P é normal ao plano tangente. A equação do plano tangente é dada por nabla F(P) cdot [(x,y,z)-(x0,y0,z0)] = 0.
F(x,y,z) = x^2a^2 - y^2b^2 + z^2c^2
Calculamos as derivadas parciais e avaliamos no ponto P:
Fx = partial Fpartial x = 2xa^2, Fy = partial Fpartial y = -2yb^2, Fz = partial Fpartial z = 2zc^2,
nabla F(P) = l(2x0a^2,,-2y0b^2,,2z0c^2r)

Passo 3

Substituindo na equação do plano tangente:
2x0a^2(x - x0) - 2y0b^2(y - y0) + 2z0c^2(z - z0) = 0

Passo 4

Dividindo tudo por 2 e usando x0^2a^2 - y0^2b^2 + z0^2c^2 = 1, obtemos a forma mais simples do plano:
x0a^2,x - y0b^2,y + z0c^2,z = 1

Passo 5

Para a reta normal, ela passa por P na direção de nabla F(P). A forma paramétrica fica:
x = x0 + t,2x0a^2, y = y0 - t,2y0b^2, z = z0 + t,2z0c^2

Passo 6

Em forma simétrica, podemos escrever:
$$
\frac{x - x_0}{x_0/a^2}

\frac{y - y_0}{-,y_0/b^2}

\frac{z - z_0}{z_0/c^2}.
$$

Resposta

Plano tangente:
x0a^2,x - y0b^2,y + z0c^2,z = 1
Reta normal (paramétrica):
x = x0 + t,2x0a^2, y = y0 - t,2y0b^2, z = z0 + t,2z0c^2

Forma simétrica da reta normal:
$$
\frac{x - x_0}{x_0/a^2}

\frac{y - y_0}{-,y_0/b^2}

\frac{z - z_0}{z_0/c^2}.
$$

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