Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
(e)
(e)
Passo 1
O exercício pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície implícita definida por
no ponto
. Vamos usar derivadas parciais e o gradiente para resolver.
Passo 2
Definimos a função auxiliar que gera a superfície e lembramos que, para
, o gradiente em
é normal ao plano tangente. A equação do plano tangente é dada por
.
Calculamos as derivadas parciais e avaliamos no ponto
:
Passo 3
Substituindo na equação do plano tangente:
Passo 4
Dividindo tudo por 2 e usando
, obtemos a forma mais simples do plano:
Passo 5
Para a reta normal, ela passa por
na direção de
. A forma paramétrica fica:
Passo 6
Em forma simétrica, podemos escrever:
$$
\frac{x - x_0}{x_0/a^2}
\frac{y - y_0}{-,y_0/b^2}
\frac{z - z_0}{z_0/c^2}.
$$
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):
Forma simétrica da reta normal:
$$
\frac{x - x_0}{x_0/a^2}
\frac{y - y_0}{-,y_0/b^2}
\frac{z - z_0}{z_0/c^2}.
$$