Encontre uma fórmula para a -ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma fórmula para a soma parcial até o -ésimo termo dessa série:
Estamos lidando com uma série geométrica, que é uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa. Para resolver, vamos precisar saber como somar os termos de uma progressão geométrica e verificar se a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa série geométrica. A série geral em uma progressão geométrica é:
Onde:
é o primeiro termo.
é a razão comum entre os termos.
Comparando com a nossa série:
O primeiro termo é .
A razão é , porque cada termo é obtido multiplicando o anterior por .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a fórmula para a -ésima soma parcial, ou seja, a soma dos primeiros termos da série geométrica. A fórmula para a soma parcial de uma progressão geométrica é:
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que identificamos:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, nossa fórmula fica:
Para simplificar ainda mais, multiplicamos numerador e denominador por :
Passo 5
Agora, temos a fórmula para a -ésima soma parcial:
Isso nos dá a soma dos primeiros termos da série.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se a série converge e, se sim, encontrar a soma total da série infinita.
Para uma série geométrica infinita, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que . No nosso caso:
Então, a série converge. A soma S da série infinita é dada por: