Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
1-12+14-18+cdots+(-1)^n-1 12^n-1+cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma fórmula para a soma parcial até o n-ésimo termo dessa série:
1 - 12 + 14 - 18 + cdots + (-1)^n-1 12^n-1 + cdots
Estamos lidando com uma série geométrica, que é uma sequência de números onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa. Para resolver, vamos precisar saber como somar os termos de uma progressão geométrica e verificar se a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa série geométrica. A série geral em uma progressão geométrica é:
a + ar + ar^2 + ar^3 + cdots
Onde:
  • a é o primeiro termo.
  • r é a razão comum entre os termos.
Comparando com a nossa série:
  • O primeiro termo a é 1.
  • A razão r é -12, porque cada termo é obtido multiplicando o anterior por -12.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a fórmula para a n-ésima soma parcial, ou seja, a soma dos primeiros n termos da série geométrica. A fórmula para a soma parcial Sn de uma progressão geométrica é:
Sn = a cdot 1 - r^n1 - r
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que identificamos:
  • a = 1
  • r = -12
Substituindo na fórmula:
Sn = 1 cdot 1 - (-12)^n1 - (-12)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, simplificamos o denominador:
1 - (-12) = 1 + 12 = 32
Então, nossa fórmula fica:
Sn = 1 - (-12)^n32
Para simplificar ainda mais, multiplicamos numerador e denominador por 2:
Sn = 2 [1 - (-12)^n]3

Passo 5

Agora, temos a fórmula para a n-ésima soma parcial:
Sn = 23 [1 - (-12)^n]
Isso nos dá a soma dos primeiros n termos da série.

Passo 6

Por fim, vamos verificar se a série converge e, se sim, encontrar a soma total da série infinita.
Para uma série geométrica infinita, ela converge se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1. No nosso caso:
| -12 | = 12 < 1
Então, a série converge. A soma S da série infinita é dada por:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 11 - (-12) = 11 + 12 = 132 = 23

Resposta

A soma da série infinita é 23.

Exercícios relacionados