Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
9100+9100^2+9100^3+cdots+9100^11+cdots

Passo 1

O enunciado pede para achar uma fórmula fechada para a n-ésima soma parcial de
uma série e, em seguida, verificar se a série infinita converge e, em caso afirmativo,
calcular sua soma. Aqui temos a série

que é uma série geométrica.

Passo 2

Identificamos que se trata de uma série geométrica em que o primeiro termo é
a=tfrac9100 e a razão é r=tfrac1100. A teoria das séries geométricas nos diz que a soma parcial Sn é dada por:
Sn ,=, a,1 - r^n1 - r

Passo 3

Substituindo a=tfrac9100 e r=tfrac1100 na fórmula, temos:
Sn = 9/1001 - 1/100l(1 - (1/100)^nr)
Como 1 - 1/100 = 99/100, isso se simplifica a
Sn = 9/10099/100l(1 - 100^-nr) = 999l(1 - 100^-nr) = 111l(1 - 100^-nr)

Passo 4

Para a soma infinita, usamos que |r|<1 implica r^nto0 quando ntoinfty. Assim,
limntoinfty Sn = 111l(1 - 0r) = 111

Passo 5

Concluímos que a série converge e sua soma infinita é tfrac111.

Resposta

A série converge e sua soma infinita é tfrac111.

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