Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma fórmula fechada para a n-ésima soma parcial de
uma série e, em seguida, verificar se a série infinita converge e, em caso afirmativo,
calcular sua soma. Aqui temos a série
que é uma série geométrica.
uma série e, em seguida, verificar se a série infinita converge e, em caso afirmativo,
calcular sua soma. Aqui temos a série
que é uma série geométrica.
Passo 2
Identificamos que se trata de uma série geométrica em que o primeiro termo é
e a razão é
. A teoria das séries geométricas nos diz que a soma parcial
é dada por:
Passo 3
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Como
, isso se simplifica a
Passo 4
Para a soma infinita, usamos que
implica
quando
. Assim,
Passo 5
Concluímos que a série converge e sua soma infinita é
.
Resposta
A série converge e sua soma infinita é
.