Questão 2 (2,0) : Calcule os limites abaixo, caso exista, ou prove que não existe.
lim (x, y) (0,0) cos (x^2 raizyraizx^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0, 0). Especificamente, temos:
lim (x, y) (0,0) cos (x^2 raizyraizx^2+y^2)
Vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e entender como manipular expressões envolvendo raízes e frações dentro de uma função trigonométrica como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o argumento do cosseno:
x^2 raizyraizx^2+y^2
Para entender o comportamento dessa expressão quando (x, y) se aproxima de (0, 0), precisamos examinar os limites das partes que compõem essa fração.

Passo 3

Vamos considerar a função raizx^2 + y^2. Essa expressão representa a distância do ponto (x, y) até a origem (0, 0). Conforme (x, y) se aproxima de (0, 0), raizx^2 + y^2 também tende a zero.

Passo 4

Agora, olhemos para o numerador x^2 raizy. Se y tende a zero, então raizy também tende a zero. Além disso, x^2 tende a zero quando x tende a zero. Portanto, o numerador tende a zero.

Passo 5

Então, temos uma situação onde tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Para resolver esse tipo de limite, é útil considerar caminhos diferentes pelos quais (x, y) pode se aproximar de (0, 0). Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite geral existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 6

Vamos tentar um caminho simples: y = kx^2, onde k é uma constante. Substituindo, temos:
x^2 raizkx^2raizx^2 + kx^2 = x^2 cdot |x| raizk|x| raiz1 + k = x^3 raizkx raiz1 + k = x^2 raizkraiz1 + k
Quando x 0, essa expressão tende a zero.

Passo 7

Outro caminho para verificar pode ser y = x. Substituindo, temos:
x^2 raizxraizx^2 + x^2 = x^2 cdot x^1/2raiz2x^2 = x^5/2x raiz2 = x^3/2raiz2
Novamente, quando x 0, essa expressão tende a zero.

Passo 8

Como em ambos os caminhos escolhidos o limite do argumento do cosseno tende a zero, vamos considerar o limite da função cosseno quando o seu argumento tende a zero. Sabemos que:
limz to 0 cos(z) = 1

Resposta

Portanto, o limite é 1.

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