Questão
: Calcule os limites abaixo, caso exista, ou prove que não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. Especificamente, temos:
Vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e entender como manipular expressões envolvendo raízes e frações dentro de uma função trigonométrica como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o argumento do cosseno:
Para entender o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de
, precisamos examinar os limites das partes que compõem essa fração.
Passo 3
Vamos considerar a função
. Essa expressão representa a distância do ponto
até a origem
. Conforme
se aproxima de
,
também tende a zero.
Passo 4
Agora, olhemos para o numerador
. Se
tende a zero, então
também tende a zero. Além disso,
tende a zero quando
tende a zero. Portanto, o numerador tende a zero.
Passo 5
Então, temos uma situação onde tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Para resolver esse tipo de limite, é útil considerar caminhos diferentes pelos quais
pode se aproximar de
. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite geral existe e é igual a esse valor. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 6
Vamos tentar um caminho simples:
, onde
é uma constante. Substituindo, temos:
Quando
, essa expressão tende a zero.
Passo 7
Outro caminho para verificar pode ser
. Substituindo, temos:
Novamente, quando
, essa expressão tende a zero.
Passo 8
Como em ambos os caminhos escolhidos o limite do argumento do cosseno tende a zero, vamos considerar o limite da função cosseno quando o seu argumento tende a zero. Sabemos que:
Resposta
Portanto, o limite é
.