Determine o ponto de intercessão das tangentes traçadas a curva de equação f(x)=1+3 x^23+x^2 nos pontos de ordenada 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto de interseção das retas tangentes à curva f(x)=1+3x^23+x^2 nos pontos onde a ordenada vale 1. Para isso, vamos precisar resolver a equação f(x)=1, calcular a derivada por regra do quociente, montar as equações das tangentes e, por fim, encontrar seu ponto de interseção.

Passo 2

Para achar as abscissas dos pontos com ordenada 1, resolvemos
1+3x^23+x^2=1
Isso leva a
1+3x^2=3+x^2Longrightarrow2x^2=2Longrightarrow x^2=1Longrightarrow x=pm1
Logo, os pontos são (-1,1) e (1,1).

Passo 3

Calculamos a derivada f'(x) usando a regra do quociente: seja u=1+3x^2 e v=3+x^2, então
f'(x)=u'v-uv'v^2=6x(3+x^2)-(1+3x^2)cdot2x(3+x^2)^2=16x(3+x^2)^2
Avaliando em x=-1 e x=1 obtemos as inclinações m1=-1 e m2=1, respectivamente.

Passo 4

Montamos as equações das tangentes nos pontos P1=(-1,1) e P2=(1,1):
Para P1:;y-1=-1(x+1)Longrightarrow y=-x
Para P2:;y-1=1(x-1)Longrightarrow y=x

Passo 5

Finalmente, encontramos a interseção das retas y=-x e y=x resolvendo
y=xe y=-x
Isso dá x=0 e y=0.

Resposta

(0,0)

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