Determine o ponto de interseção da reta r com o plano \pi.
r: x=3 t, y=1-2 t, z=-t \quad e \quad \pi: 2 x+3 y-2 z-7=0 .

Passo 1

O enunciado dá a reta r pelas equações paramétricas
x=3t,\quad y=1-2t,\quad z=-t
e o plano \pi pela equação
2x+3y-2z-7=0.
Para achar o ponto de interseção, basta determinar o valor de t que faz o ponto genérico da reta pertencer ao plano, isto é, satisfazer a equação de \pi.

Passo 2

Substituímos x=3t, y=1-2t e z=-t na equação de \pi:
2(3t)+3(1-2t)-2(-t)-7=0.
Agora simplificamos essa expressão.

Passo 3

Fazendo as contas:
6t + 3 - 6t + 2t - 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2t - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 2.

Passo 4

Com t=2, obtemos as coordenadas do ponto na reta:
x = 3\cdot2 = 6,\quad y = 1 - 2\cdot2 = -3,\quad z = -2.
Logo o ponto de interseção é (6,-3,-2).

Resposta

O ponto de interseção é (6,-3,-2).

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