Determine o ponto de interseção da reta r com o plano \pi.
r: x=3 t, y=1-2 t, z=-t \quad e \quad \pi: 2 x+3 y-2 z-7=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r:\;x=3t,\;y=1-2t,\;z=-t
e o plano
\pi:\;2x+3y-2z-7=0.
O objetivo é achar o ponto em que a reta corta o plano, usando substituição das coordenadas paramétricas de r na equação de \pi.

Passo 2

Substituímos x=3t, y=1-2t e z=-t na equação de \pi:
2(3t)+3(1-2t)-2(-t)-7=0.

Passo 3

Agora simplificamos e resolvemos para t:
6t + 3 - 6t + 2t - 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2t - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 2.

Passo 4

Com t=2, obtemos as coordenadas do ponto de interseção:
x = 3\cdot2 = 6, \quad y = 1 - 2\cdot2 = -3, \quad z = -2.

Resposta

O ponto de interseção é \,(6,\,-3,\,-2).

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