Dados os vetores vec{u}=(3,-1,1), vec{v}=(1,2,2) e vec{w}=(2,0,-3), calcular:
Sabendo que (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=-5, calcular:
\langle\vec{v},(\vec{w} \times \vec{u})\rangle.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(3,-1,1), \vec{v}=(1,2,2), \vec{w}=(2,0,-3) e informa que (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=-5. O conteúdo envolvido é o produto misto (ou triplo escalar) e suas propriedades, especialmente a ciclicidade.

Passo 2

Lembrando que o produto misto de três vetores é definido por
(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = \vec{u}\cdot\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr)
e que ele é invariante sob permutações cíclicas dos vetores.

Passo 3

Usando a propriedade cíclica temos
\vec{v}\cdot\bigl(\vec{w}\times\vec{u}\bigr) = \vec{u}\cdot\bigl(\vec{v}\times\vec{w}\bigr) = (\vec{u},\vec{v},\vec{w}).

Passo 4

Como (\vec{u},\vec{v},\vec{w})=-5, concluímos
\langle\vec{v},(\vec{w}\times\vec{u})\rangle = -5.

Resposta

-5

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