Determine em que ponto é máxima a curvatura de cada uma das seguintes curvas:
(a) c: R R^2 em que c(t)=(t, t^2);
(b) c: R R^2 em que c(t)=(t, e^t).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: A questão pede para determinar o ponto em que a curvatura é máxima em duas curvas no plano, ou seja, a cada curva c(t) devemos calcular a curvatura kappa(t) e achar o valor de t que a maximiza. Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura de uma curva paramétrica c(t)=(x(t),y(t)):
kappa(t)=l|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)r|l((x'(t))^2+(y'(t))^2r)^3/2

Passo 2

Cálculo da curvatura para a curva (a): Seja c(t)=(t,t^2). Temos:
x'(t)=1, y'(t)=2t, x''(t)=0, y''(t)=2
Substituindo na fórmula,
kappa(t)=|1cdot2 - (2t)cdot0|l(1^2+(2t)^2r)^3/2=2(1+4t^2)^3/2
Esta função é simétrica em t=0 e decresce conforme |t| aumenta, logo o máximo ocorre em t=0 e o ponto correspondente é c(0)=(0,0).

Passo 3

Cálculo da curvatura para a curva (b): Seja c(t)=(t,e^t). Então:
x'(t)=1, y'(t)=e^t, x''(t)=0, y''(t)=e^t
Substituindo,
kappa(t)=|1cdot e^t - e^tcdot0|l(1+(e^t)^2r)^3/2=e^t(1+e^2t)^3/2
Para achar o máximo, derivamos f(t)=e^t(1+e^2t)^-3/2 e igualamos a zero. Isso leva à condição
1-2e^2t=0Longrightarrow e^2t=tfrac12Longrightarrow t=-tfracln22
Analisando o sinal da derivada, confirmamos tratar-se de um máximo. O ponto é
cl(-tfracln22r)=l(-tfracln22,,e^-ln2/2r)=l(-tfracln22,,2^-1/2r)

Resposta

Para (a) o ponto de curvatura máxima é (0,0) e para (b) o ponto de curvatura máxima é l(-tfracln22,tfrac1raiz2r).

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