Prove que Du tan u=sec ^2 u.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a derivada de tan u em relação a u é sec^2 u. O conteúdo envolvido é derivação de funções trigonométricas e vamos precisar da regra do quociente e da identidade pitagórica.

Passo 2

Começamos escrevendo tan u como quociente de seno por cosseno:
tan u=sin ucos u
Para derivar esse quociente, usamos a regra: se f(u)=g(u)h(u), então
f'(u)=g'(u)h(u)-g(u)h'(u)[h(u)]^2

Passo 3

Aqui g(u)=sin u e h(u)=cos u. Calculando as derivadas:
g'(u)=cos u,
h'(u)=-sin u
Substituindo na regra do quociente:
ddul(tan ur)=(cos u)(cos u)- (sin u)(-sin u)(cos u)^2 =cos^2 u+sin^2 ucos^2 u

Passo 4

Finalmente aplicamos a identidade pitagórica sin^2 u+cos^2 u=1. Assim:
cos^2 u+sin^2 ucos^2 u=1cos^2 u=sec^2 u
Isso conclui a prova.

Resposta

sec^2 u

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