Mostre que as desigualdades abaixo estão satisfeitas a partir de algum natural N0, isto é, mostre que existe um natural N0 tal que, para todo n >= N0 as desigualdades abaixo estão satisfeitas:
lll a) ln (n) <= n & b) ln (n) <= raizn & c) n^2 <= 2^n d) raizn <= n

Passo 1

Resumindo, queremos mostrar que cada função cresce de tal forma que, a partir de algum
atural N0, vale a desigualdade pedida. O conteúdo envolve análise de crescimento de funções (logarítmica, polinomial e exponencial) e uso de derivadas para testar monotonicidade.

Passo 2

Para a) ,ln(n) \le n: Definimos a função f(n)=n−\ln(n). Calculamos a derivada
f’(n)=1−1/n. Como para todo n\ge1 temos 1−1/n\ge0, f é crescente em [1,\infty). Além disso f(1)=1−\ln(1)=1>0. Logo f(n)\ge f(1)>0 para todo n\ge1, isto é \ln(n)\le n para n\ge1. Podemos escolher N_0=1.

Passo 3

Para b) \ln(n) \le \sqrt{n}: Definimos g(n)=\sqrt{n}−\ln(n). A derivada é
g’(n)=\frac{1}{2\sqrt{n}}−\frac{1}{n}=\frac{n−2\sqrt{n}}{2n\sqrt{n}}. Observamos que g’(n)\ge0 sempre que \sqrt{n}\ge2, isto é n\ge4. Como g(4)=2−\ln(4)>0, g é crescente e positiva para n\ge4. Logo \ln(n)\le\sqrt{n} para todo n\ge4. Podemos escolher N_0=4.

Passo 4

Para c) n^2 \le 2^n: Usamos a função h(n)=2n−n2. Em vez de derivar direto, aplicamos logaritmo definindo j(n)=\ln(2n/n2)=n\ln2−2\ln(n). Então
j’(n)=\ln2−2/n, que é não negativa para n\ge3 pois \ln2≈0{,}693>2/3≈0{,}667. Assim j é crescente em [3,\infty). Como j(4)=4\ln2−2\ln4=0, segue j(n)\ge0 para n\ge4, ou seja 2^n\ge n^2. Podemos escolher N_0=4.

Passo 5

Para d) \sqrt{n} \le n: Como \sqrt{n}\ge0, basta elevar ao quadrado para obter n\le n^2, que é equivalente a n(n−1)\ge0. E isso vale para todo n\ge1. Logo a desigualdade vale para n\ge1, e podemos escolher N_0=1.

Resposta

a) N_{0}=1; b) N_{0}=4; c) N_{0}=4; d) N_{0}=1.

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