Seja
definida por
. Determine:
(a) O comprimento total da curva.
(b) Os pontos da curva onde a tangente é vertical e a aceleração normal nesses pontos.
(a) O comprimento total da curva.
(b) Os pontos da curva onde a tangente é vertical e a aceleração normal nesses pontos.
Passo 1
O enunciado pede pra gente trabalhar com a curva α(t) = (e^t cos t, e^t sen t) em t∈[0,2π] e determinar duas coisas: o comprimento total da curva e, nos pontos onde a tangente é vertical, calcular a aceleração normal. Vamos usar cálculo de derivadas, norma de vetor e fórmulas de comprimento e curvatura.
Passo 2
Primeiro a gente calcula a derivada α’(t). Aplicando a regra do produto, obtemos:
Passo 3
Em seguida, a velocidade (norma de α’) é
Passo 4
O comprimento da curva é a integral de |α’(t)| de 0 a 2π:
Passo 5
Para achar onde a tangente é vertical, basta ver onde x’(t)=0 (e y’≠0). Da condição
nosso intervalo [0,2π] dá t=π/4 e t=5π/4. Nesses valores, y’(t)=e^t(\sin t+\cos t)≠0, então a tangente é mesmo vertical. Os pontos correspondentes são
Passo 6
Por fim, pra achar a aceleração normal a_N usamos a fórmula em R²
Passo 7
Calculando as segundas derivadas dá x’’(t)=-2e^t\sin t e y’’(t)=2e^t\cos t, o que leva a
Passo 8
Então
Passo 9
Basta avaliar em t=π/4 e t=5π/4 para achar os valores da aceleração normal nesses pontos.
Resposta
O comprimento total da curva é L=√2(e^{2π}−1). As tangentes são verticais em t=π/4 e t=5π/4, nos pontos (e{π/4}/√2,e{π/4}/√2) e (−e{5π/4}/√2,−e{5π/4}/√2), e a aceleração normal nesses pontos vale a_N(π/4)=√2 e^{π/4}, a_N(5π/4)=√2 e^{5π/4}.