Seja alpha:[0,2 pi] R^2 definida por alpha(t)=(e^t cos t, e^t sen t). Determine:
(a) O comprimento total da curva.
(b) Os pontos da curva onde a tangente é vertical e a aceleração normal nesses pontos.

Passo 1

O enunciado pede pra gente trabalhar com a curva α(t) = (e^t cos t, e^t sen t) em t∈[0,2π] e determinar duas coisas: o comprimento total da curva e, nos pontos onde a tangente é vertical, calcular a aceleração normal. Vamos usar cálculo de derivadas, norma de vetor e fórmulas de comprimento e curvatura.

Passo 2

Primeiro a gente calcula a derivada α’(t). Aplicando a regra do produto, obtemos:
x'(t)=e^t(cos t-sin t), y'(t)=e^t(sin t+cos t)

Passo 3

Em seguida, a velocidade (norma de α’) é
|α'(t)|=e^traiz(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2=e^traiz2=raiz2,e^t

Passo 4

O comprimento da curva é a integral de |α’(t)| de 0 a 2π:
L=integral0^2πraiz2,e^t,dt=raiz2l[e^tr]0^2π=raiz2l(e^2π-1r)

Passo 5

Para achar onde a tangente é vertical, basta ver onde x’(t)=0 (e y’≠0). Da condição
e^t(cos t-sin t)=0iffcos t-sin t=0iff t=tfracpi4+kpi,
nosso intervalo [0,2π] dá t=π/4 e t=5π/4. Nesses valores, y’(t)=e^t(\sin t+\cos t)≠0, então a tangente é mesmo vertical. Os pontos correspondentes são
αl(tfracpi4r)=l(tfrace^pi/4raiz2,tfrace^pi/4raiz2r), αl(tfrac5pi4r)=l(-tfrace^5pi/4raiz2,-tfrace^5pi/4raiz2r)

Passo 6

Por fim, pra achar a aceleração normal a_N usamos a fórmula em R²
aN=|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)||α'(t)|

Passo 7

Calculando as segundas derivadas dá x’’(t)=-2e^t\sin t e y’’(t)=2e^t\cos t, o que leva a
|x'y''-y'x''|=2e^2t, |α'(t)|=raiz2,e^t

Passo 8

Então
aN=2e^2traiz2,e^t=raiz2,e^t

Passo 9

Basta avaliar em t=π/4 e t=5π/4 para achar os valores da aceleração normal nesses pontos.

Resposta

O comprimento total da curva é L=√2(e^{2π}−1). As tangentes são verticais em t=π/4 e t=5π/4, nos pontos (e{π/4}/√2,e{π/4}/√2) e (−e{5π/4}/√2,−e{5π/4}/√2), e a aceleração normal nesses pontos vale a_N(π/4)=√2 e^{π/4}, a_N(5π/4)=√2 e^{5π/4}.

Exercícios relacionados