Determine os pontos do parabolóide eliptico
z=4 x^2+y^2
mais próximos do ponto (0,0,8).
Sugestão para a) e b): Minimize a distância ao quadrado.

Passo 1

O enunciado pede os pontos do paraboloide elíptico
z = 4x^2 + y^2
que minimizam a distância ao ponto (0,0,8).
Como distância é sempre positiva, é mais fácil minimizar o quadrado da distância entre um ponto (x,y,z) na superfície e (0,0,8).

Passo 2

Se (x,y,z) está no paraboloide, então z = 4x^2+y^2. O quadrado da distância a (0,0,8) é
d^2 ;=; (x-0)^2 + (y-0)^2 + l(z-8r)^2 ;=; x^2 + y^2 + l(4x^2+y^2-8r)^2
Definimos
f(x,y) = x^2 + y^2 + l(4x^2+y^2-8r)^2
e vamos buscar seus pontos críticos.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2x + 2,(4x^2+y^2-8),(8x) = 2xl(32x^2+8y^2-63r),
partial fpartial y = 2y + 2,(4x^2+y^2-8),(2y) = 2yl(8x^2+2y^2-15r)
As condições de ponto crítico são
2x,(32x^2+8y^2-63)=0, 2y,(8x^2+2y^2-15)=0

Passo 4

Analisamos os casos:
  • Se y=0 então 8x^2+2cdot0^2-15=0 dá falso, mas pela primeira equação podemos ter 32x^2-63=0. Logo
x^2 = 6332, y=0, z=4x^2 = 638
  • Se x=0 então pela segunda equação 2y^2-15=0 e obtemos
y^2 = 152, x=0, z=y^2=152
  • O caso x=y=0 também é crítico, mas dá distância maior.

Passo 5

Calculamos d^2 em cada solução:
  • Para x=pmraiz63/32,,y=0:
d^2 = 6332 + l(638-8r)^2 = 6332 + l(-tfrac18r)^2 = 6332 + 164 = 12764approx1,9844
  • Para x=0,,y=pmraiz15/2:
d^2 = 152 + l(152-8r)^2 = 152 + l(-tfrac12r)^2 = 152 + 14 = 314=7,75
  • Para (0,0) no domínio, d^2=64.
    O menor valor de d^2 ocorre em x^2=63/32,,y=0.

Resposta

Os pontos mais próximos são
l(pmraiztfrac6332,,0,,tfrac638r)

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