Determine os pontos do parabolóide eliptico
mais próximos do ponto
.
Sugestão para a) e b): Minimize a distância ao quadrado.
Sugestão para a) e b): Minimize a distância ao quadrado.
Passo 1
O enunciado pede os pontos do paraboloide elíptico
que minimizam a distância ao ponto
.
Como distância é sempre positiva, é mais fácil minimizar o quadrado da distância entre um ponto na superfície e
.
Como distância é sempre positiva, é mais fácil minimizar o quadrado da distância entre um ponto
Passo 2
Se
está no paraboloide, então
. O quadrado da distância a
é
Definimos
e vamos buscar seus pontos críticos.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
As condições de ponto crítico são
Passo 4
Analisamos os casos:
- Se
então dá falso, mas pela primeira equação podemos ter . Logo
- Se
então pela segunda equação e obtemos
- O caso
também é crítico, mas dá distância maior.
Passo 5
Calculamos
em cada solução:
- Para
:
- Para
:
- Para
no domínio, .
O menor valor deocorre em .
Resposta
Os pontos mais próximos são