Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado. r(t)=(t-cos t) i+(3+2 sen t) j+(1+3 cos t) k, no ponto em que t=pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente e o plano normal a uma curva paramétrica no ponto onde $ t = \frac{\pi}{2} $. A curva é dada por:
t = pi2
Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a direção da reta tangente e depois utilizar vetores para definir o plano normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando $ t = \frac{\pi}{2} $. Substituindo $ t $ na função $ \mathbf{r}(t) $:
t = pi2
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, então:
t
Então, o ponto é $ \left(\frac{\pi}{2}, 5, 1\right) $.

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $, que nos dará o vetor tangente à curva:
r(t)
Derivando cada componente:
t
No ponto $ t = \frac{\pi}{2} $:
r'(t) = ddt[(t - cos t) i + (3 + 2 sin t) j + (1 + 3 cos t) k]
Como $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $:
r'(t) = (1 + sin t) i + (2 cos t) j + (-3 sin t) k
Então, o vetor tangente é $ \mathbf{v} = 2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{k} $.

Passo 4

Com o ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 5, 1\right) $ e o vetor tangente $ \mathbf{v} = 2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{k} $, podemos escrever a equação da reta tangente. A forma paramétrica da reta é:
(pi2, 5, 1)
Onde $ \mathbf{r}_0 $ é o ponto dado e $ s $ é o parâmetro:
v = 2 i - 3 k
Desenvolvendo:
rtan>=nte(s) = r0 + s v

Passo 5

Agora, para encontrar o plano normal à curva no ponto dado, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor é o mesmo vetor tangente $ \mathbf{v} = 2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{k} $.
A equação geral do plano é:
v = 2 i - 3 k
Onde $ \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} $ e $ \mathbf{r}_0 = \frac{\pi}{2} \mathbf{i} + 5 \mathbf{j} + 1 \mathbf{k} $.
Calculando o produto escalar:
v cdot (r - r0) = 0
Simplificando:
r = x i + y j + z k
Então, a equação do plano é:
r0 = pi2 i + 5 j + 1 k

Resposta

A reta tangente à curva no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 5, 1\right) $ é dada por:
(pi2, 5, 1)
E o plano normal à curva nesse ponto é:
rtan>=nte(s) = (pi2 + 2s) i + 5 j + (1 - 3s) k

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