Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado.
, no ponto em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente e o plano normal a uma curva paramétrica no ponto onde $ t = \frac{\pi}{2} $. A curva é dada por:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a direção da reta tangente e depois utilizar vetores para definir o plano normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando $ t = \frac{\pi}{2} $. Substituindo $ t $ na função $ \mathbf{r}(t) $:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ e $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, então:
Então, o ponto é $ \left(\frac{\pi}{2}, 5, 1\right) $.
Passo 3
Agora, vamos achar a derivada de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $, que nos dará o vetor tangente à curva:
Derivando cada componente:
No ponto $ t = \frac{\pi}{2} $:
Como $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ e $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $:
Então, o vetor tangente é $ \mathbf{v} = 2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{k} $.
Passo 4
Com o ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 5, 1\right) $ e o vetor tangente $ \mathbf{v} = 2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{k} $, podemos escrever a equação da reta tangente. A forma paramétrica da reta é:
Onde $ \mathbf{r}_0 $ é o ponto dado e $ s $ é o parâmetro:
Desenvolvendo:
Passo 5
Agora, para encontrar o plano normal à curva no ponto dado, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor é o mesmo vetor tangente $ \mathbf{v} = 2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{k} $.
A equação geral do plano é:
Onde $ \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k} $ e $ \mathbf{r}_0 = \frac{\pi}{2} \mathbf{i} + 5 \mathbf{j} + 1 \mathbf{k} $.
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Então, a equação do plano é:
Resposta
A reta tangente à curva no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 5, 1\right) $ é dada por:
E o plano normal à curva nesse ponto é: