Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das funções dadas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função $ g(x) = \int_{x}^{1} e{-t{2}} , dt $. Isso envolve entender como a derivada se relaciona com integrais definidas, especialmente quando os limites de integração dependem da variável $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente a parte que nos diz como derivar uma função definida por uma integral com limites variáveis. Se temos $ G(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt $, então a derivada $ G’(x) $ é dada por:
Isso significa que derivamos a integral avaliando a função integranda nos limites superiores e inferiores e multiplicando pelas derivadas desses limites.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ g(x) = \int_{x}^{1} e{-t{2}} , dt $. Aqui, o limite inferior é $ a(x) = x $ e o limite superior é $ b(x) = 1 $.
Vamos identificar cada parte:
- $ f(t) = e{-t{2}} $
- $ a(x) = x $ ⇒ $ a’(x) = 1 $
- $ b(x) = 1 $ ⇒ $ b’(x) = 0 $ (já que 1 é constante)
Passo 4
Aplicando o teorema:
Substituindo os valores:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função é $ g’(x) = -e{-x{2}} $.