Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das funções dadas a seguir.
g(x)=integralx^1 e^-t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usar o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função $ g(x) = \int_{x}^{1} e{-t{2}} , dt $. Isso envolve entender como a derivada se relaciona com integrais definidas, especialmente quando os limites de integração dependem da variável $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente a parte que nos diz como derivar uma função definida por uma integral com limites variáveis. Se temos $ G(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) , dt $, então a derivada $ G’(x) $ é dada por:
G(x) = integrala(x)^b(x) f(t) , dt
Isso significa que derivamos a integral avaliando a função integranda nos limites superiores e inferiores e multiplicando pelas derivadas desses limites.

Passo 3

No nosso caso, a função é $ g(x) = \int_{x}^{1} e{-t{2}} , dt $. Aqui, o limite inferior é $ a(x) = x $ e o limite superior é $ b(x) = 1 $.
Vamos identificar cada parte:
  • $ f(t) = e{-t{2}} $
  • $ a(x) = x $ ⇒ $ a’(x) = 1 $
  • $ b(x) = 1 $ ⇒ $ b’(x) = 0 $ (já que 1 é constante)

Passo 4

Aplicando o teorema:
g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores:
g'(x) = e^-(1)^2 cdot 0 - e^-x^2 cdot 1

Passo 5

Simplificando a expressão:
g'(x) = 0 - e^-x^2 = -e^-x^2

Resposta

A derivada da função é $ g’(x) = -e{-x{2}} $.

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