Determine o ponto do plano
que está mais próximo de
.
Passo 1
O enunciado dá o plano
e o ponto
. A pergunta é: determinar o ponto do plano que está mais próximo de
.
Informações relevantes: a equação do plano e as coordenadas do ponto. Nada mais é pedido além de encontrar o ponto do plano com menor distância até .
Informações relevantes: a equação do plano e as coordenadas do ponto. Nada mais é pedido além de encontrar o ponto do plano com menor distância até
Passo 2
Conceito importante (explicado com calma): a menor distância entre um ponto e um plano ocorre ao longo da direção perpendicular ao plano, ou seja, ao longo do vetor normal do plano. Isso acontece porque se você mover-se sobre o plano, qualquer pequeno deslocamento que não seja perpendicular aumentará a projeção da distância; o caminho mais curto é a perpendicular.
No nosso caso, o vetor normal do plano é o vetor dos coeficientes da equação do plano. Então o vetor normal é .
No nosso caso, o vetor normal do plano é o vetor dos coeficientes da equação do plano. Então o vetor normal é
Passo 3
Método prático (passo a passo): vamos construir a reta que passa por
e tem direção
. Pontos dessa reta são dados por
onde
é um parâmetro real. O ponto da reta que também pertence ao plano será exatamente a projeção ortogonal de
sobre o plano (isto é, o ponto do plano mais próximo de
). Então precisamos achar
tal que
satisfaça a equação do plano.
Passo 4
Substituímos as coordenadas de
na equação do plano. As coordenadas são
Agora colocamos na equação do plano:
Substituindo as expressões:
Passo 5
Desenvolvendo a expressão do passo anterior, calcule termo a termo:
Somando:
Portanto a equação fica
Isolando
:
Passo 6
Interpretação do resultado:
significa que o ponto da reta que está no plano é exatamente o próprio ponto
. Em outras palavras, ao substituir
em
obtemos
ou seja,
já pertence ao plano. Portanto a menor distância é zero e o ponto do plano mais próximo de
é ele próprio.