Determine o ponto do plano 4 x+3 y+z=-5 que está mais próximo de (-1,-2,5).

Passo 1

O enunciado dá o plano \;4x+3y+z=-5\; e o ponto \;(-1,-2,5)\;. A pergunta é: determinar o ponto do plano que está mais próximo de \;(-1,-2,5)\;.
Informações relevantes: a equação do plano e as coordenadas do ponto. Nada mais é pedido além de encontrar o ponto do plano com menor distância até \;(-1,-2,5)\;.

Passo 2

Conceito importante (explicado com calma): a menor distância entre um ponto e um plano ocorre ao longo da direção perpendicular ao plano, ou seja, ao longo do vetor normal do plano. Isso acontece porque se você mover-se sobre o plano, qualquer pequeno deslocamento que não seja perpendicular aumentará a projeção da distância; o caminho mais curto é a perpendicular.
No nosso caso, o vetor normal do plano é o vetor dos coeficientes da equação do plano. Então o vetor normal é \mathbf{n}=(4,3,1).

Passo 3

Método prático (passo a passo): vamos construir a reta que passa por \;P=(-1,-2,5)\; e tem direção \mathbf{n}=(4,3,1). Pontos dessa reta são dados por
\mathbf{r}(t)=(-1,-2,5)+t(4,3,1),
onde t é um parâmetro real. O ponto da reta que também pertence ao plano será exatamente a projeção ortogonal de P sobre o plano (isto é, o ponto do plano mais próximo de P). Então precisamos achar t tal que \mathbf{r}(t) satisfaça a equação do plano.

Passo 4

Substituímos as coordenadas de \mathbf{r}(t) na equação do plano. As coordenadas são
x(t)=-1+4t,\qquad y(t)=-2+3t,\qquad z(t)=5+t.
Agora colocamos na equação do plano:
4x(t)+3y(t)+z(t)=-5.
Substituindo as expressões:
4(-1+4t)+3(-2+3t)+(5+t)=-5.

Passo 5

Desenvolvendo a expressão do passo anterior, calcule termo a termo:
4(-1+4t)=-4+16t,
3(-2+3t)=-6+9t,
(5+t)=5+t.
Somando:
(-4+16t)+(-6+9t)+(5+t)=(-4-6+5)+(16t+9t+t)=(-5)+(26t).
Portanto a equação fica
-5+26t=-5.
Isolando t:
26t=0 \quad\Rightarrow\quad t=0.

Passo 6

Interpretação do resultado: t=0 significa que o ponto da reta que está no plano é exatamente o próprio ponto \;P. Em outras palavras, ao substituir t=0 em \mathbf{r}(t) obtemos
\mathbf{r}(0)=(-1,-2,5),
ou seja, \;(-1,-2,5)\; já pertence ao plano. Portanto a menor distância é zero e o ponto do plano mais próximo de \;(-1,-2,5)\; é ele próprio.

Resposta

(-1,-2,5)

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