EXEMPLO 3

Se f(x, y)=\operatorname{sen}(x /(1+y)), calcule \partial f / \partial x e \partial f / \partial y.
SOLUÇÃO
Usando a Regra da Cadeia para funções de uma variável, temos:
\partial f / \partial x=\cos (x /(1+y)) \cdot \partial / \partial x(x /(1+y))=\cos (x /(1+y)) \cdot 1 /(1+y)
\partial f / \partial y=\cos (x /(1+y)) \cdot \partial / \partial y(x /(1+y))=-\cos (x /(1+y)) \cdot x /(1+y)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\operatorname{sen}\!\biggl(\frac{x}{1+y}\biggr) e pede duas coisas:
  1. Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
  2. Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes do enunciado:
\displaystyle f é uma função de duas variáveis x e y. A expressão dentro do seno é \displaystyle \frac{x}{1+y}. Não há outras condições (domínio, pontos específicos etc.), então devemos obter as fórmulas gerais das derivadas parciais.

Passo 2

O que é derivada parcial?
Quando calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x. Analogamente, para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y. É exatamente o mesmo processo das derivadas de uma variável, só que “congelamos” a outra variável.

Passo 3

Regra da cadeia (lembrete didático):
Se temos uma função composta \displaystyle g(u(x)), a derivada em relação a x é
\frac{d}{dx}g(u(x))=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui g' é a derivada de g em relação ao seu argumento u, e u' é a derivada de u em relação a x. No nosso caso g(t)=\operatorname{sen}(t) e u(x,y)=\dfrac{x}{1+y}.
Exemplo rápido para fixar: se h(t)=\sin(2t), então h'(t)=\cos(2t)\cdot 2. Mesma ideia quando u depende de x e y.

Passo 4

Derivada da função externa:
A derivada de \operatorname{sen}(t) em relação a t é \cos(t). Ou seja,
\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\cos(t).
Aplicando a regra da cadeia, sempre teremos um fator \cos avaliado no argumento \dfrac{x}{1+y}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}: derivando com y constante.
Identificamos u(x,y)=\dfrac{x}{1+y}. Vendo y como constante, \dfrac{1}{1+y} é constante frente a x. Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{1+y}\right)=\frac{1}{1+y}.
Aplicando a regra da cadeia com a derivada da parte externa \cos, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot\frac{1}{1+y}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}: derivando com x constante.
Novamente u(x,y)=\dfrac{x}{1+y}. É conveniente reescrever u como u(x,y)=x\,(1+y)^{-1}. Agora x é constante e aplicamos a regra do produto/potência na dependência em y:
\frac{\partial}{\partial y}\!\bigl(x(1+y)^{-1}\bigr)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}(1+y)^{-1}.
Usando a regra do poder (se v(y)=(1+y)^{-1}, então v'(y)=-1\cdot(1+y)^{-2}\cdot 1), temos
\frac{\partial}{\partial y}(1+y)^{-1}=-\frac{1}{(1+y)^{2}}.
Logo
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x}{1+y}\right)=-\frac{x}{(1+y)^{2}}.
Aplicando a regra da cadeia (multiplicando por \cos do argumento), obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=\cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot\left(-\frac{x}{(1+y)^{2}}\right)=-\cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right)\frac{x}{(1+y)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot\frac{1}{1+y}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\cos\!\left(\frac{x}{1+y}\right)\cdot\frac{x}{(1+y)^{2}}

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