EXEMPLO 3
Se
, calcule
e
.
SOLUÇÃO
Usando a Regra da Cadeia para funções de uma variável, temos:
SOLUÇÃO
Usando a Regra da Cadeia para funções de uma variável, temos:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes do enunciado:
é uma função de duas variáveis
e
. A expressão dentro do seno é
. Não há outras condições (domínio, pontos específicos etc.), então devemos obter as fórmulas gerais das derivadas parciais.
Passo 2
O que é derivada parcial?
Quando calculamos tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
. Analogamente, para
tratamos
como constante e diferenciamos em relação a
. É exatamente o mesmo processo das derivadas de uma variável, só que “congelamos” a outra variável.
Quando calculamos
Passo 3
Regra da cadeia (lembrete didático):
Se temos uma função composta , a derivada em relação a
é
Se temos uma função composta
Aqui
é a derivada de
em relação ao seu argumento
, e
é a derivada de
em relação a
. No nosso caso
e
.
Exemplo rápido para fixar: se
, então
. Mesma ideia quando
depende de
e
.
Passo 4
Derivada da função externa:
A derivada de em relação a
é
. Ou seja,
A derivada de
Aplicando a regra da cadeia, sempre teremos um fator
avaliado no argumento
.
Passo 5
Calcular
: derivando com
constante.
Identificamos
. Vendo
como constante,
é constante frente a
. Portanto
Aplicando a regra da cadeia com a derivada da parte externa
, obtemos
Passo 6
Calcular
: derivando com
constante.
Novamente
. É conveniente reescrever
como
. Agora
é constante e aplicamos a regra do produto/potência na dependência em
:
Usando a regra do poder (se
, então
), temos
Logo
Aplicando a regra da cadeia (multiplicando por
do argumento), obtemos