EXEMPLO 14
Onde a função
é contínua?
SOLUÇÃO
A função
é descontínua em ( 0,0 ), pois ela não está definida nesse ponto.
Como
é uma função racional, ela é contínua em seu domínio, o que corresponde ao conjunto
SOLUÇÃO
A função
Como
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta “onde
é contínua?”. Informações relevantes que o enunciado fornece: \n
A expressão da função é uma fração cujo numerador é
e o denominador é
.\n
Para valores de
em que o denominador for zero a função não está definida.\n
A partir daqui vamos descobrir o domínio de definição e onde, dentro desse domínio, é contínua.
A partir daqui vamos descobrir o domínio de definição e onde, dentro desse domínio,
Passo 2
Vou lembrar (explicar) o que significa uma função ser contínua num ponto de forma simples: \n
Uma função é contínua em um ponto
se o valor de
em
for igual ao limite de
quando
se aproxima de
. Em símbolos:
.\n
Duas propriedades úteis (e fáceis de entender) que usaremos: polinômios em (como
,
, somas e diferenças deles) são contínuos em todo lugar; a soma e a diferença de funções contínuas são contínuas; e o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador for diferente de zero. Essas regras vêm das propriedades básicas de limites (regras de soma, produto e razão).
Uma função
Duas propriedades úteis (e fáceis de entender) que usaremos: polinômios em
Passo 3
Aplique as propriedades acima ao nosso
: \n
O numerador
é um polinômio em
, logo é contínuo em todo
.\n
O denominador
também é um polinômio, logo contínuo em todo
.\n
Portanto a razão
será contínua em todo ponto onde o denominador for diferente de zero, isto é, em todo ponto do domínio onde a função está definida.
Passo 4
Agora determinamos onde o denominador é zero:\n
Resolvemos . Como
e
para todo
, a soma
só pode ser zero quando ambos são zero ao mesmo tempo. Logo a única solução é
.\n
Portanto o denominador se anula apenas em . Em todos os outros pontos o denominador é positivo e a função está bem definida.
Resolvemos
Portanto o denominador se anula apenas em
Passo 5
Conclusão sobre continuidade:\n
A função
está definida e é contínua em todo ponto de
exceto possivelmente em
, porque é razão de polinômios com denominador não nulo nesses pontos.\n
Em
a função não está definida (denominador zero), então não podemos dizer que é contínua ali — na linguagem precisa:
não pertence ao domínio, portanto
não é contínua em
.\n
Para reforçar: nem mesmo é possível estender
continuamente em
, porque o limite quando
não existe. Mostro isso rapidamente por caminhos diferentes:\n
- Se
e então , logo o limite ao longo do eixo é .\n - Se
e então , logo o limite ao longo do eixo é .\n
Como os limites por caminhos diferentes dão valores diferentes (e ), o limite total não existe. Assim não há como definir um valor em que torne contínua lá.