EXEMPLO 14
Onde a função f(x, y)=x^{\wedge}(2)-y^{\wedge}(2) /\left(x^{\wedge}(2)+y^{\wedge}(2)\right) é contínua?
SOLUÇÃO
A função f(x, y) é descontínua em ( 0,0 ), pois ela não está definida nesse ponto.
Como f(x, y) é uma função racional, ela é contínua em seu domínio, o que corresponde ao conjunto D=\{(x, y) \mid(x, y) \neq(0,0)\}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} e pergunta “onde f é contínua?”. Informações relevantes que o enunciado fornece: \n
\;1.\; A expressão da função é uma fração cujo numerador é x^{2}-y^{2} e o denominador é x^{2}+y^{2}.\n
\;2.\; Para valores de (x,y) em que o denominador for zero a função não está definida.\n
A partir daqui vamos descobrir o domínio de definição e onde, dentro desse domínio, f é contínua.

Passo 2

Vou lembrar (explicar) o que significa uma função ser contínua num ponto de forma simples: \n
Uma função g é contínua em um ponto (a,b) se o valor de g em (a,b) for igual ao limite de g(x,y) quando (x,y) se aproxima de (a,b). Em símbolos: \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=g(a,b).\n
Duas propriedades úteis (e fáceis de entender) que usaremos: polinômios em x,y (como x^2, y^2, somas e diferenças deles) são contínuos em todo lugar; a soma e a diferença de funções contínuas são contínuas; e o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador for diferente de zero. Essas regras vêm das propriedades básicas de limites (regras de soma, produto e razão).

Passo 3

Aplique as propriedades acima ao nosso f: \n
\;1.\; O numerador \,x^{2}-y^{2}\, é um polinômio em x,y, logo é contínuo em todo \mathbb{R}^{2}.\n
\;2.\; O denominador \,x^{2}+y^{2}\, também é um polinômio, logo contínuo em todo \mathbb{R}^{2}.\n
\;3.\; Portanto a razão \displaystyle \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} será contínua em todo ponto onde o denominador for diferente de zero, isto é, em todo ponto do domínio onde a função está definida.

Passo 4

Agora determinamos onde o denominador é zero:\n
Resolvemos \displaystyle x^{2}+y^{2}=0. Como x^{2}\ge0 e y^{2}\ge0 para todo x,y, a soma x^{2}+y^{2} só pode ser zero quando ambos são zero ao mesmo tempo. Logo a única solução é (x,y)=(0,0).\n
Portanto o denominador se anula apenas em (0,0). Em todos os outros pontos o denominador é positivo e a função está bem definida.

Passo 5

Conclusão sobre continuidade:\n
\;1.\; A função f está definida e é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^{2} exceto possivelmente em (0,0), porque é razão de polinômios com denominador não nulo nesses pontos.\n
\;2.\; Em (0,0) a função não está definida (denominador zero), então não podemos dizer que é contínua ali — na linguagem precisa: (0,0) não pertence ao domínio, portanto f não é contínua em (0,0).\n
\;3.\; Para reforçar: nem mesmo é possível estender f continuamente em (0,0), porque o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe. Mostro isso rapidamente por caminhos diferentes:\n
  • Se y=0 e x\to0 então \displaystyle f(x,0)=\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=1, logo o limite ao longo do eixo x é 1.\n
  • Se x=0 e y\to0 então \displaystyle f(0,y)=\frac{0-y^{2}}{0+y^{2}}=-1, logo o limite ao longo do eixo y é -1.\n
    Como os limites por caminhos diferentes dão valores diferentes ( 1 e -1), o limite total \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Assim não há como definir um valor em (0,0) que torne f contínua lá.

Resposta

\displaystyle \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}

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