Determine o ponto no qual a reta intersecta o plano dado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ponto onde a reta intersecta o plano dado. As informações fornecidas sobre a reta são:
onde
é o parâmetro real.
Importante: o enunciado não deu a equação do plano. Sem a equação do plano não é possível calcular um ponto numérico de interseção. Vou, portanto, explicar o procedimento completo e dar a resposta em termos da equação geral do plano; isso vai te ensinar como resolver na prova assim que a equação do plano aparecer.
Importante: o enunciado não deu a equação do plano. Sem a equação do plano não é possível calcular um ponto numérico de interseção. Vou, portanto, explicar o procedimento completo e dar a resposta em termos da equação geral do plano; isso vai te ensinar como resolver na prova assim que a equação do plano aparecer.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a reta de forma vetorial e identificar elementos úteis. A reta tem:
- um ponto da reta (quando
): ; - vetor diretor da reta:
(porque varia com , e são constantes).
Agora, represente o plano de forma geral por
onde
são constantes que definem o plano. O vetor normal ao plano é
. Eu explico o significado:
é um vetor perpendicular ao plano; se
então a reta corta o plano em exatamente um ponto; se
então a reta é paralela ao plano e pode ou não estar contida nesse plano.
Passo 3
O procedimento padrão é substituir as coordenadas da reta na equação do plano e resolver para
. Substituindo
em
obtemos
Agora simplificamos essa expressão.
Passo 4
Simplificando a equação do passo anterior dá
Esta é uma equação linear em
. Há dois casos:
Caso A:
.
Então e podemos resolver para
:
Então
Com esse
obtemos o ponto de interseção substituindo na reta:
Calculando
explicitamente usando o
acima:
Simplificando
:
Portanto, quando
o ponto de interseção é
Geometricamente isso coincide com a regra: como
, se
a reta não é paralela ao plano e cortará o plano num único ponto.
Passo 5
Caso B:
.
A equação reduz-se a
A equação reduz-se a
Duas subpossibilidades:
- Se
, então a equação fica para todo . Isso significa que toda a reta satisfaz a equação do plano, ou seja, a reta está contida no plano (infinitos pontos de interseção). - Se
, então obtemos uma contradição . Isso significa que não existe que satisfaça a equação: a reta é paralela ao plano e não o intersecta (nenhum ponto de interseção).
Passo 6
Resumo prático (para aplicar na prova assim que te derem o plano):
- Escreva o plano como
. - Substitua
e resolva a linear em . - Se obtiver um
único, calcule o ponto pela reta. Se a equação se anular identicamente, a reta está no plano. Se houver contradição, não há interseção.
Força aí — se você me mandar a equação do plano eu já calculo o ponto numérico pra você rapidinho.
Resposta
Não é possível determinar numericamente: a equação do plano não foi fornecida.
Se o plano for com
, o ponto de interseção é
.
Se e
, a reta está contida no plano (infinitas interseções).
Se e
, não há interseção.
Se o plano for
Se
Se