Determine o ponto no qual a reta intersecta o plano dado.
x=1+2 t, \quad y=14, \quad z=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ponto onde a reta intersecta o plano dado. As informações fornecidas sobre a reta são:
x = 1 + 2t,\qquad y = 14,\qquad z = 1,
onde t é o parâmetro real.
Importante: o enunciado não deu a equação do plano. Sem a equação do plano não é possível calcular um ponto numérico de interseção. Vou, portanto, explicar o procedimento completo e dar a resposta em termos da equação geral do plano; isso vai te ensinar como resolver na prova assim que a equação do plano aparecer.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a reta de forma vetorial e identificar elementos úteis. A reta tem:
  • um ponto da reta (quando t=0): P_0 = (1,14,1);
  • vetor diretor da reta: \mathbf{v} = (2,0,0) (porque x varia com 2t, y e z são constantes).
Agora, represente o plano de forma geral por
ax + by + cz + d = 0,
onde a,b,c,d são constantes que definem o plano. O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(a,b,c). Eu explico o significado: \mathbf{n} é um vetor perpendicular ao plano; se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\neq0 então a reta corta o plano em exatamente um ponto; se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 então a reta é paralela ao plano e pode ou não estar contida nesse plano.

Passo 3

O procedimento padrão é substituir as coordenadas da reta na equação do plano e resolver para t. Substituindo (x,y,z)=(1+2t,\,14,\,1) em ax+by+cz+d=0 obtemos
a(1+2t) + b(14) + c(1) + d = 0.
Agora simplificamos essa expressão.

Passo 4

Simplificando a equação do passo anterior dá
2a\,t + (a + 14b + c + d) = 0.
Esta é uma equação linear em t. Há dois casos:
Caso A: \;a \neq 0.
Então 2a \neq 0 e podemos resolver para t:
t = -\dfrac{a + 14b + c + d}{2a}.
Com esse t obtemos o ponto de interseção substituindo na reta:
x = 1 + 2t,\qquad y = 14,\qquad z = 1.
Calculando x explicitamente usando o t acima:
2t = -\dfrac{a + 14b + c + d}{a}\quad\Rightarrow\quad x = 1 + 2t = 1 - \dfrac{a + 14b + c + d}{a}.
Simplificando x:
x = -\dfrac{14b + c + d}{a}.
Portanto, quando a\neq 0 o ponto de interseção é
\left(-\dfrac{14b + c + d}{a},\;14,\;1\right).
Geometricamente isso coincide com a regra: como \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=2a, se a\neq0 a reta não é paralela ao plano e cortará o plano num único ponto.

Passo 5

Caso B: \;a = 0.
A equação reduz-se a
14b + c + d = 0.
Duas subpossibilidades:
  • Se 14b + c + d = 0, então a equação fica 0=0 para todo t. Isso significa que toda a reta satisfaz a equação do plano, ou seja, a reta está contida no plano (infinitos pontos de interseção).
  • Se 14b + c + d \neq 0, então obtemos uma contradição 0 = \text{constante não nula}ã. Isso significa que não existe t que satisfaça a equação: a reta é paralela ao plano e não o intersecta (nenhum ponto de interseção).

Passo 6

Resumo prático (para aplicar na prova assim que te derem o plano):
  1. Escreva o plano como ax+by+cz+d=0.
  2. Substitua x=1+2t,\;y=14,\;z=1 e resolva a linear em t.
  3. Se obtiver um t único, calcule o ponto pela reta. Se a equação se anular identicamente, a reta está no plano. Se houver contradição, não há interseção.
Força aí — se você me mandar a equação do plano eu já calculo o ponto numérico pra você rapidinho.

Resposta

Não é possível determinar numericamente: a equação do plano não foi fornecida.
Se o plano for ax+by+cz+d=0 com a\neq0, o ponto de interseção é \left(-\dfrac{14b + c + d}{a},\;14,\;1\right).
Se a=0 e 14b+c+d=0, a reta está contida no plano (infinitas interseções).
Se a=0 e 14b+c+d\neq0, não há interseção.

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