Considere as funções:
(a) Calcule
e
usando a regra do produto.
(b) Determine o valor das derivadas em
.
(b) Determine o valor das derivadas em
Passo 1
O enunciado dá as duas funções
e pede duas coisas:
(a) Calcular as derivadas e
usando a regra do produto.
(b) Avaliar essas derivadas em , isto é, encontrar
e
.
(a) Calcular as derivadas
(b) Avaliar essas derivadas em
As informações relevantes fornecidas são as próprias expressões de
e
e o ponto de avaliação
. Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Relembrando a regra do produto (aqui explico bem devagar): se temos duas funções
e
, a derivada do produto
é dada por
Isso significa: derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, e somamos a primeira função multiplicada pela derivada da segunda. Cada símbolo representa:
é a derivada de
em relação a
,
é a derivada de
em relação a
.
Também preciso das derivadas básicas:
Vou usar tudo isso passo a passo.
Passo 3
Agora aplico a regra do produto em
. Aqui posso identificar
e
. Pelo que vimos:
Substituindo
,
e
, obtenho
Posso escrever de forma mais limpa como
Passo 4
Comentário didático curto: cada termo tem sentido —
vem de derivar
(virou
) e manter
; já
vem de manter
e derivar
(virou
). Isso é exatamente a regra do produto em ação.
Passo 5
Agora aplico a regra do produto em
. Aqui
e
. Usando a fórmula:
Substituindo
,
e
, obtenho
Ou seja,
Passo 6
Agora vou calcular os valores das derivadas em
. Primeiro preciso dos valores trigonométricos básicos nesse ponto:
Anotações: esses valores vêm da relação do triângulo isósceles de ângulo
(ou do círculo trigonométrico).
Passo 7
Avalio
em
. A fórmula é
. Substituindo:
Usando os valores de
e
,
Posso fatorar
para ficar mais compacto:
Passo 8
Avalio
em
. A fórmula é
. Substituindo:
Usando os valores conhecidos,
Fatorando
,
Resposta
(a)
(b)