Considere as funções:
f(x)=x \cdot \sin (x), \quad h(x)=x \cdot \cos (x)
(a) Calcule f^{\prime}(x) e h^{\prime}(x) usando a regra do produto.
(b) Determine o valor das derivadas em x=\frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções
f(x)=x\cdot\sin(x),\qquad h(x)=x\cdot\cos(x)
e pede duas coisas:
(a) Calcular as derivadas f^{\prime}(x) e h^{\prime}(x) usando a regra do produto.
(b) Avaliar essas derivadas em x=\frac{\pi}{4}, isto é, encontrar f^{\prime}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) e h^{\prime}\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
As informações relevantes fornecidas são as próprias expressões de f e h e o ponto de avaliação x=\frac{\pi}{4}. Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Relembrando a regra do produto (aqui explico bem devagar): se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto u(x)\,v(x) é dada por
\big(u v\big)^\prime = u^\prime v + u v^\prime.
Isso significa: derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, e somamos a primeira função multiplicada pela derivada da segunda. Cada símbolo representa:
\,u^\prime é a derivada de u em relação a x,
\,v^\prime é a derivada de v em relação a x.
Também preciso das derivadas básicas:
\frac{d}{dx}\big(x\big)=1,\qquad \frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Vou usar tudo isso passo a passo.

Passo 3

Agora aplico a regra do produto em f(x)=x\sin x. Aqui posso identificar u(x)=x e v(x)=\sin x. Pelo que vimos:
f^\prime(x)=u^\prime(x)\,v(x)+u(x)\,v^\prime(x).
Substituindo u^\prime(x)=1, v(x)=\sin x e v^\prime(x)=\cos x, obtenho
f^\prime(x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.
Posso escrever de forma mais limpa como
f^\prime(x)=\sin x + x\cos x.

Passo 4

Comentário didático curto: cada termo tem sentido — \sin x vem de derivar x (virou 1) e manter \sin x; já x\cos x vem de manter x e derivar \sin x (virou \cos x). Isso é exatamente a regra do produto em ação.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto em h(x)=x\cos x. Aqui u(x)=x e v(x)=\cos x. Usando a fórmula:
h^\prime(x)=u^\prime(x)\,v(x)+u(x)\,v^\prime(x).
Substituindo u^\prime(x)=1, v(x)=\cos x e v^\prime(x)=-\sin x, obtenho
h^\prime(x)=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x).
Ou seja,
h^\prime(x)=\cos x - x\sin x.

Passo 6

Agora vou calcular os valores das derivadas em x=\frac{\pi}{4}. Primeiro preciso dos valores trigonométricos básicos nesse ponto:
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Anotações: esses valores vêm da relação do triângulo isósceles de ângulo 45^\circ (ou do círculo trigonométrico).

Passo 7

Avalio f^\prime em x=\frac{\pi}{4}. A fórmula é \,f^\prime(x)=\sin x + x\cos x. Substituindo:
f^\prime\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\pi}{4}\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Usando os valores de \sin e \cos,
f^\prime\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Posso fatorar \frac{\sqrt{2}}{2} para ficar mais compacto:
f^\prime\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\frac{\pi}{4}\right).

Passo 8

Avalio h^\prime em x=\frac{\pi}{4}. A fórmula é \,h^\prime(x)=\cos x - x\sin x. Substituindo:
h^\prime\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{4}\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Usando os valores conhecidos,
h^\prime\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Fatorando \frac{\sqrt{2}}{2},
h^\prime\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\pi}{4}\right).

Resposta

(a) f^{\prime}(x)=\sin x + x\cos x,\quad h^{\prime}(x)=\cos x - x\sin x
(b) f^{\prime}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1+\dfrac{\pi}{4}\right),\quad h^{\prime}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)

Exercícios relacionados