Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}
(a) Resolva usando racionalização.
(b) Demonstre que este limite representa uma derivada específica e verifique usando regras de derivação.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}
e faz duas solicitações separadas:
(a) resolver usando racionalização; (b) mostrar que esse limite é uma derivada específica e confirmar o valor usando regras de derivação.
Informações dadas: a expressão é a razão entre \sqrt{x}-2 e x-4. Não há outras restrições; estamos interessados em x tendendo a 4.

Passo 2

Verificação inicial do tipo de indeterminação: se eu apenas substituir x=4 na expressão, o numerador fica \sqrt{4}-2=2-2=0 e o denominador fica 4-4=0. Então o quociente apresenta a forma indeterminada 0/0.
Explicação curta sobre indeterminação: quando um limite dá 0/0 não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — é preciso manipular a expressão (álgebra, fatoração, racionalização, ou interpretar como derivada) para eliminar a indeterminação e então avaliar o limite.

Passo 3

Racionalização (parte a). Ideia: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz no numerador. O conjugado de \sqrt{x}-2 é \sqrt{x}+2. Faço:
\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}.
Agora uso a identidade de produto da soma e diferença: (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aplicando com a=\sqrt{x} e b=2 obtenho:
(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=(\sqrt{x})^2-2^2=x-4.
Portanto a fração simplifica para
\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2},
válida para x\neq 4 (onde a manipulação não divide por zero antes do limite).

Passo 4

Avaliação do limite após racionalização: como a expressão equivalente para x\neq 4 é \dfrac{1}{\sqrt{x}+2} e essa função \sqrt{x}+2 é contínua em torno de x=4, posso substituir x\to 4 diretamente:
\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.
Conclusão da parte (a): o limite vale \dfrac{1}{4}.

Passo 5

Interpretação como derivada (parte b) — primeira etapa: lembrar a definição de derivada. Para uma função f e um ponto a, a derivada de f em a é
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
quando esse limite existir. Aqui f(x) é qualquer função; f(a) é o valor da função no ponto a; a expressão é chamada quociente diferencial ou diferença-por-hora. Observe a semelhança com o limite do enunciado.

Passo 6

Aplicando a definição ao caso presente: se eu tomar f(x)=\sqrt{x} e a=4, então f(a)=\sqrt{4}=2 e o quociente de diferença fica exatamente
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\sqrt{x}-2}{x-4},
que é a nossa expressão de limite. Portanto o limite pedido é, por definição, f'(4): o valor da derivada de f(x)=\sqrt{x} em x=4.

Passo 7

Cálculo da derivada por regras (parte b, verificação). Para derivar f(x)=\sqrt{x} usamos a regra da potência: para g(x)=x^n com n real, a derivada é
g'(x)=n x^{n-1}.
No nosso caso \sqrt{x}=x^{1/2}. Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{1}{2} temos
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Aqui eu expliquei: x^{-\tfrac{1}{2}}=1/x^{1/2}=1/\sqrt{x}.

Passo 8

Avaliação da derivada em x=4:
f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}.
Isso confirma que a interpretação como derivada dá o mesmo resultado obtido pela racionalização.

Resposta

(a) \dfrac{1}{4}
(b) O limite é a derivada de f(x)=\sqrt{x} em x=4; f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} e f'(4)=\dfrac{1}{4}.

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