Calcule o limite:
(a) Resolva usando racionalização.
(b) Demonstre que este limite representa uma derivada específica e verifique usando regras de derivação.
(b) Demonstre que este limite representa uma derivada específica e verifique usando regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
e faz duas solicitações separadas:
(a) resolver usando racionalização; (b) mostrar que esse limite é uma derivada específica e confirmar o valor usando regras de derivação.
Informações dadas: a expressão é a razão entre e
. Não há outras restrições; estamos interessados em
tendendo a
.
(a) resolver usando racionalização; (b) mostrar que esse limite é uma derivada específica e confirmar o valor usando regras de derivação.
Informações dadas: a expressão é a razão entre
Passo 2
Verificação inicial do tipo de indeterminação: se eu apenas substituir
na expressão, o numerador fica
e o denominador fica
. Então o quociente apresenta a forma indeterminada
.
Explicação curta sobre indeterminação: quando um limite dá não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — é preciso manipular a expressão (álgebra, fatoração, racionalização, ou interpretar como derivada) para eliminar a indeterminação e então avaliar o limite.
Explicação curta sobre indeterminação: quando um limite dá
Passo 3
Racionalização (parte a). Ideia: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz no numerador. O conjugado de
é
. Faço:
Agora uso a identidade de produto da soma e diferença:
. Aplicando com
e
obtenho:
Portanto a fração simplifica para
válida para
(onde a manipulação não divide por zero antes do limite).
Passo 4
Avaliação do limite após racionalização: como a expressão equivalente para
é
e essa função
é contínua em torno de
, posso substituir
diretamente:
Conclusão da parte (a): o limite vale
.
Passo 5
Interpretação como derivada (parte b) — primeira etapa: lembrar a definição de derivada. Para uma função
e um ponto
, a derivada de
em
é
quando esse limite existir. Aqui
é qualquer função;
é o valor da função no ponto
; a expressão é chamada quociente diferencial ou diferença-por-hora. Observe a semelhança com o limite do enunciado.
Passo 6
Aplicando a definição ao caso presente: se eu tomar
e
, então
e o quociente de diferença fica exatamente
que é a nossa expressão de limite. Portanto o limite pedido é, por definição,
: o valor da derivada de
em
.
Passo 7
Cálculo da derivada por regras (parte b, verificação). Para derivar
usamos a regra da potência: para
com
real, a derivada é
No nosso caso
. Aplicando a regra da potência com
temos
Aqui eu expliquei:
.
Passo 8
Avaliação da derivada em
:
Isso confirma que a interpretação como derivada dá o mesmo resultado obtido pela racionalização.
Resposta
(a)
(b) O limite é a derivada de em
;
e
.
(b) O limite é a derivada de