A molécula de metano
possui um átomo de carbono e 4 de hidrogênio. Suponha que os átomos de hidrogênio estejam localizados nos pontos do espaço tridimensional (
), (
), (
) e (
) enquanto que o átomo de carbono esteja no ponto (1/2,1/2,1/2).
a) Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo
entre dois vetores não nulos do
(x e y) é definido por:
,
onde
é o produto interno entre
e y e
é a norma do vetor
qualquer.
b) Se a distância entre o átomo de carbono e um átomo de hidrogênio for de 1 u.a. (unidade arbitrária), determine a distância, em unidades arbitrárias, entre dois átomos de hidrogênios quaisquer da molécula de metano.
a) Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo
onde
b) Se a distância entre o átomo de carbono e um átomo de hidrogênio for de 1 u.a. (unidade arbitrária), determine a distância, em unidades arbitrárias, entre dois átomos de hidrogênios quaisquer da molécula de metano.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos átomos:
,
,
,
e o carbono
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Calcular o cosseno do ângulo entre dois segmentos que partem de
e vão a dois hidrogênios diferentes (ou seja, o cosseno do ângulo entre dois vetores e , ). - Se a distância
vale (em u.a.), determinar a distância entre quaisquer dois átomos de hidrogênio da molécula.
Passo 2
Primeiro vamos transformar a questão geométrica em vetores: o vetor que vai do carbono
a um hidrogênio
é dado por
onde subtraímos coordenada a coordenada. Para calcular o cosseno do ângulo entre dois desses vetores usamos a fórmula
onde
é o produto interno (soma dos produtos das componentes) e
é a norma (raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes). Vou exemplificar escolhendo dois hidrogênios distintos, por exemplo
e
. (Pista: por simetria qualquer par distinto dá o mesmo resultado; depois eu explico por que.)
Passo 3
Calculemos os vetores do carbono aos dois hidrogênios escolhidos:
Passo 4
Agora calculamos o produto interno
. Lembrando que o produto interno de
e
é
Aplicando aqui:
Passo 5
Calculamos as normas
e
. A norma de
é
Para
:
Para
as componentes têm os mesmos quadrados, então
Passo 6
Aplicando a fórmula do cosseno:
Portanto o cosseno do ângulo entre dois segmentos
e
(com
) é
. (Se quiser o ângulo em graus,
, mas a pergunta pedia o cosseno.)
Passo 7
Agora a parte (b). Nas coordenadas dadas a distância
(norma dos vetores
) vale
(como calculamos). O enunciado nos diz que essa distância deve ser
u.a.; isso significa que devemos multiplicar todas as distâncias do sistema por um fator de escala
Distâncias se multiplicam por
quando escalamos as coordenadas.
Passo 8
Calculemos a distância entre dois hidrogênios quaisquer nas coordenadas originais e depois aplicamos o fator
. Por exemplo, entre
e
a diferença é
e a distância é
Aplicando o fator de escala
, a distância real (com
) entre quaisquer dois hidrogênios é
Esse valor vale para qualquer par de hidrogênios, pelos mesmos argumentos de simetria.
Resposta
(a)
(b)
(b)