A molécula de metano (\mathrm{CH} 4) possui um átomo de carbono e 4 de hidrogênio. Suponha que os átomos de hidrogênio estejam localizados nos pontos do espaço tridimensional ( 0,0,0 ), ( 1,1,0 ), ( 0,1,1 ) e ( 1,0,1 ) enquanto que o átomo de carbono esteja no ponto (1/2,1/2,1/2).
a) Encontre o cosseno do ângulo entre dois segmentos de reta que partem do átomo de carbono e se direcionam a dois átomos de hidrogênio diferentes. Lembre-se de que o ângulo \angle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) entre dois vetores não nulos do \mathbb{R}^{n} (x e y) é definido por:
\angle(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\operatorname{arccos} \frac{\langle\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}\rangle}{\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|},
onde \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle é o produto interno entre \mathbf{x} e y e \|\boldsymbol{z}\| é a norma do vetor \mathbf{z} qualquer.
b) Se a distância entre o átomo de carbono e um átomo de hidrogênio for de 1 u.a. (unidade arbitrária), determine a distância, em unidades arbitrárias, entre dois átomos de hidrogênios quaisquer da molécula de metano.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos átomos:
\mathrm{H}_1=(0,0,0), \mathrm{H}_2=(1,1,0), \mathrm{H}_3=(0,1,1), \mathrm{H}_4=(1,0,1) e o carbono C=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
As perguntas são:
  1. Calcular o cosseno do ângulo entre dois segmentos que partem de C e vão a dois hidrogênios diferentes (ou seja, o cosseno do ângulo entre dois vetores CH_i e CH_j, i\neq j).
  2. Se a distância CH vale 1 (em u.a.), determinar a distância entre quaisquer dois átomos de hidrogênio da molécula.

Passo 2

Primeiro vamos transformar a questão geométrica em vetores: o vetor que vai do carbono C a um hidrogênio H é dado por
\vec{v} = H - C,
onde subtraímos coordenada a coordenada. Para calcular o cosseno do ângulo entre dois desses vetores usamos a fórmula
\cos\angle(\vec{x},\vec{y})=\frac{\langle \vec{x},\vec{y}\rangle}{\|\vec{x}\|\|\vec{y}\|},
onde \langle \vec{x},\vec{y}\rangle é o produto interno (soma dos produtos das componentes) e \|\vec{z}\| é a norma (raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes). Vou exemplificar escolhendo dois hidrogênios distintos, por exemplo \mathrm{H}_1=(0,0,0) e \mathrm{H}_2=(1,1,0). (Pista: por simetria qualquer par distinto dá o mesmo resultado; depois eu explico por que.)

Passo 3

Calculemos os vetores do carbono aos dois hidrogênios escolhidos:
\vec{v}_1 = \mathrm{H}_1 - C = \left(0-\tfrac{1}{2},\;0-\tfrac{1}{2},\;0-\tfrac{1}{2}\right)=\left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right),
\vec{v}_2 = \mathrm{H}_2 - C = \left(1-\tfrac{1}{2},\;1-\tfrac{1}{2},\;0-\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right).

Passo 4

Agora calculamos o produto interno \langle \vec{v}_1,\vec{v}_2\rangle. Lembrando que o produto interno de \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\langle \vec{a},\vec{b}\rangle = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aplicando aqui:
\langle \vec{v}_1,\vec{v}_2\rangle = \left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) + \left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{2}\right) + \left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Calculamos as normas \|\vec{v}_1\| e \|\vec{v}_2\|. A norma de \vec{z}=(z_1,z_2,z_3) é
\|\vec{z}\|=\sqrt{z_1^2+z_2^2+z_3^2}.
Para \vec{v}_1:
\|\vec{v}_1\|=\sqrt{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Para \vec{v}_2 as componentes têm os mesmos quadrados, então
\|\vec{v}_2\|=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Aplicando a fórmula do cosseno:
\cos\angle(\vec{v}_1,\vec{v}_2)=\frac{\langle \vec{v}_1,\vec{v}_2\rangle}{\|\vec{v}_1\|\|\vec{v}_2\|} =\frac{-\tfrac{1}{4}}{\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} =\frac{-\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}=-\tfrac{1}{3}.
Portanto o cosseno do ângulo entre dois segmentos CH_i e CH_j (com i\neq j) é -\tfrac{1}{3}. (Se quiser o ângulo em graus, \operatorname{arccos}(-\tfrac{1}{3})\approx 109{,}47^\circ, mas a pergunta pedia o cosseno.)

Passo 7

Agora a parte (b). Nas coordenadas dadas a distância CH (norma dos vetores \vec{v}_i) vale \tfrac{\sqrt{3}}{2} (como calculamos). O enunciado nos diz que essa distância deve ser 1 u.a.; isso significa que devemos multiplicar todas as distâncias do sistema por um fator de escala
s=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Distâncias se multiplicam por s quando escalamos as coordenadas.

Passo 8

Calculemos a distância entre dois hidrogênios quaisquer nas coordenadas originais e depois aplicamos o fator s. Por exemplo, entre \mathrm{H}_1=(0,0,0) e \mathrm{H}_2=(1,1,0) a diferença é (1,1,0) e a distância é
d_{12}=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.
Aplicando o fator de escala s, a distância real (com CH=1) entre quaisquer dois hidrogênios é
d = s\cdot \sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{6}}{3}.
Esse valor vale para qualquer par de hidrogênios, pelos mesmos argumentos de simetria.

Resposta

(a) -\tfrac{1}{3}
(b) \dfrac{2\sqrt{6}}{3}

Exercícios relacionados