Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2,-1) e é equidistante dos pontos A(0,0) e B(4,2).
Passo 1
O enunciado dá os pontos P(2,-1), A(0,0) e B(4,2) e pede: determinar a equação da reta que passa por P e é equidistante dos pontos A e B.
Informações relevantes:
Coordenadas: P=(2,-1), A=(0,0), B=(4,2).
“Reta equidistante dos pontos A e B” significa que a distância perpendicular do ponto A até a reta é igual à distância perpendicular do ponto B até a mesma reta.
O objetivo é encontrar todas as retas que passam por P e satisfazem essa igualdade de distâncias.
Passo 2
Vamos escrever a equação geral de uma reta como
a x + b y + c = 0,
onde a,b,c são números reais e (a,b)\neq(0,0). A distância perpendicular de um ponto (x_0,y_0) até essa reta é dada pela fórmula
d=\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Explicando essa fórmula com calma:
O numerador a x_0 + b y_0 + c é o valor da expressão da reta no ponto (x_0,y_0); o valor absoluto garante que a distância seja não negativa.
O denominador \sqrt{a^2+b^2} normaliza os coeficientes para transformar essa expressão em uma distância (tem origem geométrica no comprimento do vetor normal (a,b)).
Queremos que a distância de A até a reta seja igual à distância de B até a reta. Usando a fórmula de distância:
\frac{|a x_A + b y_A + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|a x_B + b y_B + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Como \sqrt{a^2+b^2}>0, podemos simplificar \sqrt{a^2+b^2} dos dois lados, obtendo
|a x_A + b y_A + c| = |a x_B + b y_B + c|.
Passo 3
Retirando o valor absoluto, a igualdade |U|=|V| é equivalente a U=V ou U=-V. Aplicando isso ao nosso caso, temos duas possibilidades:
a x_A + b y_A + c = a x_B + b y_B + c.
a x_A + b y_A + c = -(a x_B + b y_B + c).
Vamos estudar cada caso separadamente (repare que isso dará famílias de retas, e depois impomos que a reta passe por P).
Passo 4
Caso 1: a x_A + b y_A + c = a x_B + b y_B + c.
Subtraindo a x_B + b y_B + c dos dois lados:
a(x_A-x_B)+b(y_A-y_B)=0.
Isto significa que o vetor normal (a,b) é ortogonal ao vetor \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A). Geometricamente, se o vetor normal é ortogonal a \overrightarrow{AB}, então a reta tem direção paralela a \overrightarrow{AB}. Ou seja: todas as retas paralelas a AB satisfazem a condição do caso 1.
Para aplicar ao nosso caso, calculemos a reta paralela a AB que passa por P:
Vetor \overrightarrow{AB}=(4-0,\,2-0)=(4,2).
A inclinação de AB é m_{AB}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
A reta paralela a AB que passa por P(2,-1) tem equação ponto-declive
Caso 2: a x_A + b y_A + c = -(a x_B + b y_B + c).
Reorganizando:
a(x_A + x_B) + b(y_A + y_B) + 2c = 0.
Dividindo por 2:
a\left(\frac{x_A+x_B}{2}\right) + b\left(\frac{y_A+y_B}{2}\right) + c = 0.
Reconhecemos \left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) como o ponto médio M do segmento AB. Assim a condição diz que a M_x + b M_y + c = 0, ou seja: o ponto médio M está na reta. Geometricamente, qualquer reta que passe por M faz as distâncias de A e B até a reta serem iguais em módulo, pois A e B são simétricos em relação a M.
Vamos calcular M para os pontos dados:
M=\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(2,1).
Procuramos a reta que passe por P(2,-1) e por M(2,1). Como ambos têm x=2, essa reta é vertical:
x=2.
Em forma ax+by+c=0 isso é 1\cdot x + 0\cdot y -2 = 0.
Passo 6
Resumo das duas retas obtidas:
Reta paralela a AB que passa por P: y=\tfrac{1}{2}x-2 (ou x-2y-4=0).
Reta que passa por P e pelo ponto médio M: x=2.
Passo 7
Verificação rápida (só para ficar tranquilo):
Para y=\tfrac{1}{2}x-2 (equivalente a x-2y-4=0):\text{dist}(A,L)=\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}},\qquad \text{dist}(B,L)=\frac{|4-4-4|}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}.As distâncias coincidem.
Para x=2:\text{dist}(A,L)=|0-2|=2,\qquad \text{dist}(B,L)=|4-2|=2.Também coincidem.
Ambas passam por P e satisfazem a condição de equidistância.