(a) Determine o volume do elipsóide
, da seguinte forma: Faça a mudança de variáveis que permita reescrever o elipsóide como uma esfera de raio 1 e obtenha o determinante Jacobiano dessa mudança. Use o Teo. da Mudança de Variáveis para determinar o volume do elipsóide.
Passo 1
Estamos com o elipsóide dado por
, cujo volume queremos achar usando mudança de variáveis e o Teorema da Mudança de Variáveis.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis que “normaliza” o elipsóide em esfera unitária: definimos
,
e
. Sob essa mudança, a equação do elipsóide vira
, ou seja, a região
em
passa a ser a bola unitária
.
Passo 3
A matriz Jacobiana dessa transformação é diagonal com entradas
, logo o determinante Jacobiano é
. Pelo Teorema da Mudança de Variáveis,