(a) Determine o volume do elipsóide x^2a+y^2b+z^2c=1, a, b, c>0, da seguinte forma: Faça a mudança de variáveis que permita reescrever o elipsóide como uma esfera de raio 1 e obtenha o determinante Jacobiano dessa mudança. Use o Teo. da Mudança de Variáveis para determinar o volume do elipsóide.

Passo 1

Estamos com o elipsóide dado por x^2a+y^2b+z^2c=1, cujo volume queremos achar usando mudança de variáveis e o Teorema da Mudança de Variáveis.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis que “normaliza” o elipsóide em esfera unitária: definimos x=raiza,u, y=raizb,v e z=raizc,w. Sob essa mudança, a equação do elipsóide vira u^2+v^2+w^2=1, ou seja, a região E em (x,y,z) passa a ser a bola unitária B=(u,v,w):u^2+v^2+w^2<=1.

Passo 3

A matriz Jacobiana dessa transformação é diagonal com entradas raiza,raizb,raizc, logo o determinante Jacobiano é det J=raiza,raizb,raizc=raizabc. Pelo Teorema da Mudança de Variáveis,
Vol(E)=integralEdVx=integralB|det J|,dVu=raizabcintegralBdVu

Resposta

tfrac43piraizabc

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