Seja h(x)=integral5 x-2^x^3+2 sen(t^3+5 t) d t. Determine h(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar $ h(0) $, onde $ h(x) $ é definido por uma integral envolvendo a função seno. Vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades de funções ímpares para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ x = 0 $ na expressão de $ h(x) $. Isso nos dá:
x = 0

Passo 3

Simplificando os limites da integral:
5 cdot 0 - 2 = -2 e 0^3 + 2 = 2
Então, temos:
h(0) = integral-2^2 sin(t^3 + 5t) , dt

Passo 4

Agora, vamos analisar a função dentro da integral: $ \sin(t^{3} + 5t) $. Queremos verificar se essa função é ímpar, ou seja, se $ f(-t) = -f(t) $.
Vamos calcular $ f(-t) $:
sin(t^3 + 5t)
Usando a propriedade do seno que $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, temos:
f(-t) = -f(t)
Isso confirma que $ f(t) = \sin(t^{3} + 5t) $ é uma função ímpar.

Passo 5

Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em relação à origem (de -a a a) é zero. Matematicamente:
integral-a^a f(t) , dt = 0 se f(t) for ímpar í
Como nossa integral vai de -2 a 2 e $ f(t) $ é ímpar, aplicamos essa propriedade.

Resposta

h(0) = 0

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