Seja
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar $ h(0) $, onde $ h(x) $ é definido por uma integral envolvendo a função seno. Vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades de funções ímpares para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ x = 0 $ na expressão de $ h(x) $. Isso nos dá:
Passo 3
Simplificando os limites da integral:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar a função dentro da integral: $ \sin(t^{3} + 5t) $. Queremos verificar se essa função é ímpar, ou seja, se $ f(-t) = -f(t) $.
Vamos calcular $ f(-t) $:
Usando a propriedade do seno que $ \sin(-\theta) = -\sin(\theta) $, temos:
Isso confirma que $ f(t) = \sin(t^{3} + 5t) $ é uma função ímpar.
Passo 5
Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em relação à origem (de
a
) é zero. Matematicamente:
Como nossa integral vai de
a
e $ f(t) $ é ímpar, aplicamos essa propriedade.