Determine o ponto sobre a superfície z=x^{2}+y^{2}+2 que está mais próximo da origem.

Passo 1

O enunciado pede o ponto da superfície
z = x^{2} + y^{2} + 2
que fica mais próximo da origem. Como a distância é medida por
D = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}},
é mais simples minimizar o quadrado da distância
D^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}.

Passo 2

Substituímos z = x^{2} + y^{2} + 2 em D^{2}. Assim,
D^{2}(x,y) = x^{2} + y^{2} + \bigl(x^{2} + y^{2} + 2\bigr)^{2}.

Passo 3

Para simplificar, note que x^{2}+y^{2}\ge0. Definimos
t = x^{2} + y^{2},
de modo que
D^{2} = t + (t+2)^{2} = t + t^{2} + 4t + 4 = t^{2} + 5t + 4.

Passo 4

Para achar o mínimo de
f(t)=t^{2}+5t+4,\quad t\ge0,
calculamos a derivada
f'(t) = 2t+5.
Como f'(t)>0 para todo t\ge0, a função é crescente em [0,\infty). Logo o mínimo ocorre em t=0. Isso implica
x^{2}+y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,\;y=0,
e então
z = 0^{2} + 0^{2} + 2 = 2.

Resposta

O ponto da superfície mais próximo da origem é (0,0,2).

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