Determine três números cuja soma é 100 e cuja somas dos quadrados seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede três números reais x, y e z tais que
x + y + z = 100
e que a quantidade
x^2 + y^2 + z^2
seja mínima.
Conteúdo: otimização de função de várias variáveis com restrição (método dos multiplicadores de Lagrange ou desigualdade QM–AM).

Passo 2

Definimos a função a minimizar
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeita à restrição
g(x,y,z)=x+y+z-100=0.
No método de Lagrange, consideramos
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2-\lambda\,(x+y+z-100).

Passo 3

Impondo as condições de extremo:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x-\lambda=0,\quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=2y-\lambda=0,\quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=2z-\lambda=0.
Cada equação dá
2x=\lambda,\quad2y=\lambda,\quad2z=\lambda
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x=y=z.

Passo 4

Como x=y=z e x+y+z=100, temos
3x=100 \quad\Longrightarrow\quad x=y=z=\frac{100}{3}.

Resposta

Os três números são
\frac{100}{3},\quad \frac{100}{3},\quad \frac{100}{3}.

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