Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular sem tampa, para que seu volume seja máximo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que maximizem o volume, dado um valor fixo da área de material disponível para a base e as laterais. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar a ideia de expressar o volume em função de duas variáveis (base e altura) e encontrar o ponto crítico.
Passo 2
Definimos as variáveis:
– x e y: os comprimentos dos dois lados da base;
– z: a altura da caixa.
O volume é
V = xyz.
A área total de material (base +4 laterais) é fixa, digamos S. Como não há tampa,
S = \underbrace{xy}_{\text{base}} \;+\; \underbrace{2xz + 2yz}_{\text{laterais}}.
Passo 3
Pela simetria da base, no máximo de volume devemos ter x=y. Então definimos