Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular sem tampa, para que seu volume seja máximo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que maximizem o volume, dado um valor fixo da área de material disponível para a base e as laterais. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar a ideia de expressar o volume em função de duas variáveis (base e altura) e encontrar o ponto crítico.

Passo 2

Definimos as variáveis:
x e y: os comprimentos dos dois lados da base;
z: a altura da caixa.
O volume é
V = xyz.
A área total de material (base +4 laterais) é fixa, digamos S. Como não há tampa,
S = \underbrace{xy}_{\text{base}} \;+\; \underbrace{2xz + 2yz}_{\text{laterais}}.

Passo 3

Pela simetria da base, no máximo de volume devemos ter x=y. Então definimos
x = y,
e substituímos em S e em V.

Passo 4

Com x=y, a restrição fica
S = x^2 + 4xz,
daí isolamos z:
z = \frac{S - x^2}{4x}.
O volume em função de x só é
V(x) = x^2 \,z = x^2 \cdot \frac{S - x^2}{4x} = \frac{x\,(S - x^2)}{4}.

Passo 5

Para maximizar, derivamos
V'(x) = \frac{1}{4}\bigl(S - 3x^2\bigr)
e igualamos a zero:
S - 3x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{\frac{S}{3}}.

Passo 6

Agora achamos z substituindo x em
z = \frac{S - x^2}{4x} = \frac{S - \tfrac{S}{3}}{4\,\sqrt{S/3}} = \frac{\tfrac{2S}{3}}{4\,\sqrt{S/3}} = \frac{1}{2}\,\sqrt{\frac{S}{3}} = \frac{x}{2}.

Passo 7

Concluímos que, em proporção, as dimensões que maximizam o volume satisfazem
x = y, \quad z = \frac{x}{2}.
Ou seja, a base é um quadrado e a altura vale metade do lado da base.

Resposta

As dimensões relativas são
x : y : z \;=\; 1 : 1 : \tfrac12,
isto é, base quadrada e altura igual à metade do lado dessa base.

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