Considere a reta r:(x, y, z)=(t, 2-t, 0) com t in R. Suponha que a reta s é concorrente e perpendicular a reta r e, além disso, s passa pela origem.
(a) Quais pontos da reta s distam raiz2 da reta r ?
(b) Por quais pontos, dos seguintes, passa a reta s:
A=(1,1,0), B=(1,-1,0), C=(1,1,1) e D=(1,-1,1).

Passo 1

A questão dá a reta r: (x,y,z)=(t,2-t,0) e diz que s passa pela origem, é perpendicular a r e as duas se encontram num ponto P. Vamos achar P como o pé da perpendicular do ponto O=(0,0,0) em relação à r, depois achar a equação de s e usar fórmula de distância de ponto a reta.

Passo 2

Para achar P, note que um ponto genérico de r é r(t)=(t,2-t,0) e o vetor diretor de r é dr=(1,-1,0). O vetor OP=(-t,t-2,0) deve ser perpendicular a dr. Logo,
(-t,t-2,0)cdot(1,-1,0)=0Longrightarrow -t-(t-2)=0Longrightarrow t=1

Passo 3

Com t=1 temos P= r(1)=(1,1,0). A reta s passa por O e P, então seu vetor diretor é ds=(1,1,0) e sua equação paramétrica é
(x,y,z)=(u,u,0), uinR

Passo 4

Para (a), seja Q um ponto genérico de s: Q=(u,u,0). A distância de Q à reta r vale
d(Q,r)=|,drtimes(Q-r(0))||dr|, r(0)=(0,2,0), dr=(1,-1,0)

Passo 5

Calculando o vetor Q-r(0)=(u,u-2,0) e o produto vetorial
drtimes(Q-r(0))=(1,-1,0)times(u,u-2,0)=(0,0,2u-2),
logo |drtimes(Q-r(0))|=|2u-2| e |dr|=raiz2. Impor d(Q,r)=raiz2
|2u-2|raiz2=raiz2Longrightarrow |2u-2|=2Longrightarrow u=0 ou u=2

Passo 6

Assim, os pontos de s à distância raiz2 de r são Q=(0,0,0) e Q=(2,2,0).
Para (b), basta ver quais dos pontos A, B, C, D satisfazem x=y e z=0. Apenas A=(1,1,0) atende a isso, então s passa por A.

Resposta

(a) (0,0,0) e (2,2,0)
(b) Apenas A=(1,1,0)

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