Considere a reta com . Suponha que a reta é concorrente e perpendicular a reta e, além disso, s passa pela origem.
(a) Quais pontos da reta distam da reta ?
(b) Por quais pontos, dos seguintes, passa a reta s: e .
Passo 1
A questão dá a reta r: e diz que s passa pela origem, é perpendicular a r e as duas se encontram num ponto P. Vamos achar P como o pé da perpendicular do ponto O=(0,0,0) em relação à r, depois achar a equação de s e usar fórmula de distância de ponto a reta.
Passo 2
Para achar P, note que um ponto genérico de r é e o vetor diretor de r é . O vetor deve ser perpendicular a dr. Logo,
Calculando o vetor Q-r(0)=(u,u-2,0) e o produto vetorial
drtimes(Q-r(0))=(1,-1,0)times(u,u-2,0)=(0,0,2u-2),
logo |drtimes(Q-r(0))|=|2u-2| e |dr|=raiz2. Impor d(Q,r)=raiz2 dá |2u-2|raiz2=raiz2Longrightarrow |2u-2|=2Longrightarrow u=0 ou u=2
Passo 6
Assim, os pontos de s à distância raiz2 de r são Q=(0,0,0) e Q=(2,2,0).
Para (b), basta ver quais dos pontos A, B, C, D satisfazem x=y e z=0. Apenas A=(1,1,0) atende a isso, então s passa por A.