Determine o ponto
mais próximo da origem.
Passo 1
O enunciado pede o ponto da reta definida pela equação da superfície plana mais próximo da origem; o conteúdo aqui é minimização de distância ao plano com restrição. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para achar o ponto que minimiza a função distância sob a condição do plano.
Passo 2
Definimos a função a minimizar como a distância ao quadrado até a origem para facilitar (evita raiz):
f(x,y,z)=x2+y2+z^2
A restrição vem da equação do plano:
g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0
f(x,y,z)=x2+y2+z^2
A restrição vem da equação do plano:
g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0
Passo 3
Pelo método de Lagrange, impomos
Calculando gradientes:
Logo:
Passo 4
Daquelas igualdades temos x=λ/2, y=λ, z=3λ/2. Substituímos na restrição do plano:
Passo 5
Resolvendo para λ:
Somando frações:
Logo
Logo
Então
Passo 6
Assim, o ponto da superfície plana mais próximo da origem é encontrado.