Determine o ponto x+2 y+3 z=6 mais próximo da origem.

Passo 1

O enunciado pede o ponto da reta definida pela equação da superfície plana mais próximo da origem; o conteúdo aqui é minimização de distância ao plano com restrição. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para achar o ponto que minimiza a função distância sob a condição do plano.

Passo 2

Definimos a função a minimizar como a distância ao quadrado até a origem para facilitar (evita raiz):
f(x,y,z)=x2+y2+z^2
A restrição vem da equação do plano:
g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0

Passo 3

Pelo método de Lagrange, impomos
∇f=λ∇g
Calculando gradientes:
∇f=(2x,2y,2z),
∇g=(1,2,3)
Logo:
2x=λ·1,
2y=λ·2,
2z=λ·3

Passo 4

Daquelas igualdades temos x=λ/2, y=λ, z=3λ/2. Substituímos na restrição do plano:
x+2y+3z=6
λ2+2·λ+3l(3λ2r)=6

Passo 5

Resolvendo para λ:
λ2+2λ+9λ2=6
Somando frações: λ+9λ2+2λ=10λ2+2λ=5λ+2λ=7λ=6
Logo
λ=67
Então
x=λ2=37,
y=λ=67,
z=3λ2=97

Passo 6

Assim, o ponto da superfície plana mais próximo da origem é encontrado.

Resposta

l(tfrac37,tfrac67,tfrac97r)

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