Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Esboce o gráfico de uma função
que admita todas as propriedades seguintes :
(a)
para todo
(b)
para todo
©
(d)
é crescente no intervalo
(e)
é contínua em
(f)
é uma assíntota vertical de
(g)
é assíntota horizontal de
(h) o domínio de
é
.
Esboce o gráfico de uma função
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que esboçar o gráfico de uma função
que satisfaça várias propriedades específicas. O conteúdo aqui envolve conceitos de simetria de funções, limites, comportamentos de crescimento, continuidade, assíntotas e domínio. Vamos precisar entender cada uma dessas propriedades para construir a função passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as propriedades de simetria:
-
Propriedade (a):
para todo . Isso significa que fora do intervalo , a função é par, ou seja, tem simetria em relação ao eixo y. -
Propriedade (b):
para todo . Dentro desse intervalo, a função é ímpar, com simetria de rotação de 180 graus em torno da origem.
Passo 3
Agora, vamos considerar os limites e assíntotas:
-
Propriedade ©:
. Isso nos diz o comportamento da função quando se aproxima de pela direita. -
Propriedade (f):
é uma assíntota vertical. Isso significa que a função tende ao infinito ou menos infinito quando se aproxima de 1. -
Propriedade (g):
é uma assíntota horizontal. Conforme vai para mais ou menos infinito, se aproxima de 2.
Passo 4
Vamos olhar para o comportamento dentro do intervalo
:
-
Propriedade (d):
é crescente em . Isso significa que à medida que aumenta de para 0, também aumenta. -
Propriedade (e):
é contínua em . Não há quebras, saltos ou pontos de descontinuidade nesse intervalo.
Passo 5
Por último, a Propriedade (h): o domínio de
é
, ou seja, todos os números reais são permitidos como entradas para
.
Passo 6
Vamos construir a função em partes, considerando os intervalos definidos:
-
Para
: A função é par, então . Além disso, temos uma assíntota horizontal em . Podemos usar uma função racional que se aproxima de 2 quando cresce, por exemplo: Ondeé uma constante a ser determinada. -
Para
: A função é ímpar, então . Aqui, queremos que a função seja crescente em e contínua.
Passo 7
Vamos determinar a constante
usando a Propriedade ©:
Substituindo na expressão:
Resolvendo:
Então, a função para
fica:
Passo 8
Agora, vamos definir a função para
. Como a função é ímpar e queremos que seja crescente em
, podemos escolher uma função linear simples que satisfaça essas condições. Vamos optar por:
Onde
é uma constante positiva para garantir que a função seja crescente.
Passo 9
Para garantir a continuidade em
e
, vamos igualar os limites das duas partes da função nesses pontos.
Em
:
Não há necessidade de igualar aqui devido à assíntota.
Em
:
Para continuidade em
:
Passo 10
Com
, nossa função para
fica:
Portanto, a função completa é:
Resposta
A função
que satisfaz todas as propriedades é dada por: