Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Esboce o gráfico de uma função f que admita todas as propriedades seguintes :
(a) f(x)=f(-x) para todo x in(-infty,-1) cup(1, infty)
(b) f(x)=-f(-x) para todo x in(-1,1)
© lim x -2^+ f(x)=-1
(d) f é crescente no intervalo [-1,0]
(e) f é contínua em [-1,1]
(f) x=1 é uma assíntota vertical de f
(g) y=2 é assíntota horizontal de f
(h) o domínio de f é R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que esboçar o gráfico de uma função que satisfaça várias propriedades específicas. O conteúdo aqui envolve conceitos de simetria de funções, limites, comportamentos de crescimento, continuidade, assíntotas e domínio. Vamos precisar entender cada uma dessas propriedades para construir a função passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as propriedades de simetria:
  • Propriedade (a): para todo . Isso significa que fora do intervalo , a função é par, ou seja, tem simetria em relação ao eixo y.
  • Propriedade (b): para todo . Dentro desse intervalo, a função é ímpar, com simetria de rotação de 180 graus em torno da origem.

Passo 3

Agora, vamos considerar os limites e assíntotas:
  • Propriedade ©: . Isso nos diz o comportamento da função quando se aproxima de pela direita.
  • Propriedade (f): é uma assíntota vertical. Isso significa que a função tende ao infinito ou menos infinito quando se aproxima de 1.
  • Propriedade (g): é uma assíntota horizontal. Conforme vai para mais ou menos infinito, se aproxima de 2.

Passo 4

Vamos olhar para o comportamento dentro do intervalo :
  • Propriedade (d): é crescente em . Isso significa que à medida que aumenta de para 0, também aumenta.
  • Propriedade (e): é contínua em . Não há quebras, saltos ou pontos de descontinuidade nesse intervalo.

Passo 5

Por último, a Propriedade (h): o domínio de é , ou seja, todos os números reais são permitidos como entradas para .

Passo 6

Vamos construir a função em partes, considerando os intervalos definidos:
  1. Para f(x) = 2 + ax - 1 : A função é par, então . Além disso, temos uma assíntota horizontal em . Podemos usar uma função racional que se aproxima de 2 quando cresce, por exemplo:
    Onde é uma constante a ser determinada.
  2. Para : A função é ímpar, então . Aqui, queremos que a função seja crescente em e contínua.

Passo 7

Vamos determinar a constante limx to -2^+ f(x) = -1 usando a Propriedade ©:
limx to -2^+ (2 + ax - 1) = -1
Substituindo na expressão:
2 + a-2 - 1 = -1 2 - a3 = -1 -a3 = -3 a = 9
Resolvendo:
f(x) = 2 + 9x - 1
Então, a função para fica:

Passo 8

Agora, vamos definir a função para f(x) = cx . Como a função é ímpar e queremos que seja crescente em , podemos escolher uma função linear simples que satisfaça essas condições. Vamos optar por:
Onde é uma constante positiva para garantir que a função seja crescente.

Passo 9

Para garantir a continuidade em limx to 1^- f(x) = c(1) = c limx to 1^+ f(x) = 2 + 91 - 1 (indeterminado devido à assíntota) e limx to -1^+ f(x) = c(-1) = -c limx to -1^- f(x) = 2 + 9-1 - 1 = 2 - 92 = -52 , vamos igualar os limites das duas partes da função nesses pontos.
Em -c = -52 implies c = 52 :
àí
Não há necessidade de igualar aqui devido à assíntota.
Em :
Para continuidade em :

Passo 10

Com f(x) = 52x , nossa função para f(x) = 2 + 9x - 1 & se |x| > 1 52x & se |x| <= 1 fica:
Portanto, a função completa é:

Resposta

A função f(x) = 2 + dfrac9x - 1 & se |x| > 1 dfrac52x & se |x| <= 1 que satisfaz todas as propriedades é dada por:

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