Determine os pontos aderentes de cada sequência dada abaixo
(n!).

Passo 1

O enunciado pede: "Determine os pontos aderentes da sequência (n!)". As informações dadas são: temos a sequência cujo termo geral é n! para n=1,2,3,\dots. Não há outras hipóteses nem figuras. As perguntas implícitas que vou responder são: quais são os pontos aderentes (entendidos como limites de subsequências) dessa sequência no conjunto dos números reais \mathbb{R}? Vou também comentar a interpretação alternativa (pontos aderentes do conjunto dos valores da sequência, isto é, a aderência do conjunto \{n!\}) para evitar ambiguidade.

Passo 2

Definição (a que usarei primeiro, e que é a mais comum em contextos de sequências): um número x\in\mathbb{R} é ponto aderente da sequência (a_n) se existe uma subsequência (a_{n_k}) tal que
\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = x.
Isto é, pontos aderentes são precisamente os possíveis limites de subsequências. Vou trabalhar com essa definição para responder a pergunta principal. Depois tratarei da outra interpretação (aderência do conjunto de valores).

Passo 3

Vamos examinar o comportamento de n!. Alguns valores iniciais para intuição:
1! = 1,\qquad 2! = 2,\qquad 3! = 6,\qquad 4! = 24,\qquad 5! = 120,\\ \dots
Observação simples: para todo n\ge 1 vale
(n+1)! = (n+1)\,n! > n!,
portanto a sequência (n!) é estritamente crescente (os termos são todos distintos e crescentes).

Passo 4

Mostro que n! tende a +\infty quando n\to\infty. Uma estimativa simples e elegante é comparar com potências de 2. Proponho provar por indução que para todo n\ge 1
n! \ge 2^{\,n-1}.
Base n=1: 1! = 1 = 2^{0}. Suponha que n! \ge 2^{\,n-1}. Então
(n+1)! = (n+1)\,n! \ge (n+1)2^{\,n-1} \ge 2\cdot 2^{\,n-1} = 2^{\,n},
pois n+1\ge 2 para n\ge 1. Assim a desigualdade vale para n+1. Por indução ela vale para todo n\ge1. Como \lim_{n\to\infty}2^{\,n-1}=+\infty, segue que
\lim_{n\to\infty} n! = +\infty.

Passo 5

Consequência para pontos aderentes (pela definição de Passo 2): se existisse uma subsequência convergente em \mathbb{R}, seus termos teriam de ser uma sequência limitada. Mas qualquer subsequência de uma sequência que tende a +\infty também tende a +\infty ou, no mínimo, é não limitada acima; em particular não pode convergir para um número real finito. Além disso, não existe subsequência constante (os valores são todos distintos), então não há subsequência que convirja para um número real. Portanto não existe x\in\mathbb{R} que seja limite de uma subsequência de (n!). Concluímos que, segundo a definição de Passo 2, a sequência não tem pontos aderentes finitos em \mathbb{R}.

Passo 6

Comentário sobre o caso do conjunto estendido de números reais: se aceitarmos a reta estendida \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}, então claramente
\lim_{n\to\infty} n! = +\infty
significa que +\infty é o único ponto aderente no espaço \overline{\mathbb{R}}. Ou seja, a única subsequência que tem limite (no sentido estendido) converge para +\infty.

Passo 7

Interpretação alternativa (muito usada para conjuntos): às vezes “ponto aderente” refere-se a ponto aderente do conjunto A=\{n!\mid n\in\mathbb{N}\}, isto é, x é ponto aderente de A se toda vizinhança de x contém algum elemento de A. Neste sentido (aderência do conjunto), cada elemento m!\in A é aderente porque está no conjunto; resta ver se existem pontos de acumulação distintos dos próprios pontos do conjunto. Mas como os termos formam uma sequência estritamente crescente e divergente, cada m! é isolado: há uma bola em torno de m! que não contém nenhum outro n!. Por exemplo, a distância ao vizinho mais próximo é positiva, logo podemos escolher raio menor que a metade dessa distância. Assim não há pontos de acumulação finitos distintos dos próprios pontos n!. Portanto a aderência topológica do conjunto A é exatamente A:
\overline{A} = \{n!\mid n\in\mathbb{N}\}.

Passo 8

Resumo didático e motivador: em linguagem de prova curta — a sequência cresce sem limite, então não há subsequência convergente em \mathbb{R}; por isso não há pontos aderentes finitos (como limites de subsequências). Se queremos trabalhar no espaço estendido, o único ponto aderente é +\infty. Se a pergunta for sobre a aderência do conjunto de valores, então cada valor n! é aderente (são pontos isolados) e não há outros pontos na aderência.

Resposta

Pontos aderentes como limites de subsequências em \mathbb{R}: \varnothing.
Pontos aderentes como limites de subsequências em \overline{\mathbb{R}} (reta estendida): \{+\infty\}.
Pontos aderentes do conjunto \{n!\} (fecho do conjunto): \{n!\mid n\in\mathbb{N}\}.

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