Para quais valores de n a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}(x-2)^{n}}{2^{n}} converge?
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}(x-2)^{n}}{2^{n}}
e pergunta para quais valores de x ela converge. Informações relevantes que temos:
O termo geral da série é \displaystyle a_n(x)=\frac{n^{2}}{2^{n}}(x-2)^{n}.
A série é uma série de potências centrada em 2 (porque aparece (x-2)^{n}).
Precisamos determinar o conjunto de x tais que a soma infinita exista (convergência).
Passo 2
Vou usar um critério prático para séries de potências: o teste da razão (ou a raiz) aplicado aos coeficientes para encontrar o raio de convergência. Breve aula sobre isso:
Uma série de potências geral tem forma \displaystyle\sum_{n=1}^\infty c_n (x-x_0)^n. Ela converge para todos x com |x-x_0|<R, diverge para |x-x_0|>R, e os pontos |x-x_0|=R (os extremos) precisam ser testados separadamente.
O número R chama-se raio de convergência. Se existir \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|, então R=\frac{1}{L}. Se preferir, o teste da raiz usa \displaystyle R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}.
Aqui os coeficientes são c_n=\dfrac{n^{2}}{2^{n}}. Vou calcular L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right|.
A série torna-se \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}. Essa é uma série cujos termos não vão a zero (os termos crescem), logo a soma diverge. Regra simples usada (teste do termo): se os termos gerais não têm limite zero, a série diverge.
Os termos têm módulo |a_n(0)|=n^{2}, que não tende a zero (na verdade diverge). Pelo mesmo raciocínio do teste do termo, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}(-1)^{n} não pode convergir porque seus termos não tendem a zero. Portanto diverge.
Passo 8
Conclusão final: a série converge exatamente para os x com |x-2|<2, e nos extremos x=0 e x=4 diverge. Em termos de intervalo, isso significa que o conjunto de convergência é o intervalo aberto (0,4).