Para quais valores de n a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}(x-2)^{n}}{2^{n}} converge?

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}(x-2)^{n}}{2^{n}}
e pergunta para quais valores de x ela converge. Informações relevantes que temos:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n(x)=\frac{n^{2}}{2^{n}}(x-2)^{n}.
  • A série é uma série de potências centrada em 2 (porque aparece (x-2)^{n}).
  • Precisamos determinar o conjunto de x tais que a soma infinita exista (convergência).

Passo 2

Vou usar um critério prático para séries de potências: o teste da razão (ou a raiz) aplicado aos coeficientes para encontrar o raio de convergência. Breve aula sobre isso:
  • Uma série de potências geral tem forma \displaystyle\sum_{n=1}^\infty c_n (x-x_0)^n. Ela converge para todos x com |x-x_0|<R, diverge para |x-x_0|>R, e os pontos |x-x_0|=R (os extremos) precisam ser testados separadamente.
  • O número R chama-se raio de convergência. Se existir \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|, então R=\frac{1}{L}. Se preferir, o teste da raiz usa \displaystyle R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}.
  • Aqui os coeficientes são c_n=\dfrac{n^{2}}{2^{n}}. Vou calcular L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right|.

Passo 3

Calculemos a razão dos coeficientes:
\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| =\frac{\dfrac{(n+1)^{2}}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{2}}{2^{n}}} =\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{1}{2}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{1}{2} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\right)\cdot\frac{1}{2} =1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto L=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Como L=\dfrac{1}{2}, o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=2.
Isto significa que a série converge para todos x que satisfazem
|x-2|<2,
e diverge sempre que
|x-2|>2.
Agora precisamos testar os pontos na fronteira, ou seja os casos |x-2|=2.

Passo 5

Determinar os pontos de fronteira: |x-2|=2 dá duas soluções:
x-2=2\quad\Rightarrow\quad x=4,
e
x-2=-2\quad\Rightarrow\quad x=0.
Vamos estudar a convergência em x=4 e em x=0 separadamente.

Passo 6

Teste em x=4: substituindo na série temos
(x-2)=2\quad\Rightarrow\quad a_n(4)=\frac{n^{2}}{2^{n}}\cdot 2^{n}=n^{2}.
A série torna-se \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}. Essa é uma série cujos termos não vão a zero (os termos crescem), logo a soma diverge. Regra simples usada (teste do termo): se os termos gerais não têm limite zero, a série diverge.

Passo 7

Teste em x=0: substituindo obtemos
(x-2)=-2\quad\Rightarrow\quad a_n(0)=\frac{n^{2}}{2^{n}}\cdot(-2)^{n}=n^{2}(-1)^{n}.
Os termos têm módulo |a_n(0)|=n^{2}, que não tende a zero (na verdade diverge). Pelo mesmo raciocínio do teste do termo, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}(-1)^{n} não pode convergir porque seus termos não tendem a zero. Portanto diverge.

Passo 8

Conclusão final: a série converge exatamente para os x com |x-2|<2, e nos extremos x=0 e x=4 diverge. Em termos de intervalo, isso significa que o conjunto de convergência é o intervalo aberto (0,4).

Resposta

x\in(0,4)

Exercícios relacionados