Suponha que a_{n}>0 e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} convirja. Mostre se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá que a_{n}>0 para todo n e que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge. A pergunta é: a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}^{2}+1}
converge ou diverge?
Informações relevantes listadas:
  • a_{n}>0 para todo n.
  • \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge (logo os termos a_n formam uma sequência cujos somatórios parciais têm limite finito).
  • Precisamos decidir se \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_{n}^{2}+1} converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro fato básico que vamos usar: se uma série de termos positivos \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge, então os termos a_{n} tendem a zero. Vou provar isso de forma direta e simples. Defina a soma parcial s_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}. Como a série converge, a sequência (s_{n}) converge para algum S\in\mathbb{R}. Note que
a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.
Como s_{n}\to S e s_{n-1}\to S, temos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}(s_{n}-s_{n-1})=S-S=0.
Portanto a_{n}\to 0. (Comentário amigo: esse é um resultado que aparece sempre nas provas — quando a série converge, os termos vão para zero. Guarde isso.)

Passo 3

Agora estude o termo genérico da série que queremos:
b_{n}=\frac{1}{a_{n}^{2}+1}.
Como a_{n}\to 0, e a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1} é contínua em todos os reais, podemos passar o limite para dentro da função:
\lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{a_{n}^{2}+1}=\frac{1}{0^{2}+1}=1.
Então os termos b_{n} tendem a 1, não tendem a zero.

Passo 4

Lembrete do teste do termo geral (fato fundamental sobre séries): se \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} converge, então necessariamente \lim_{n\to\infty} c_{n}=0. A contrapositiva é: se \lim_{n\to\infty} c_{n}\neq 0, a série \sum c_{n} diverge. Aplicando isso ao nosso caso, como \lim_{n\to\infty} b_{n}=1\neq 0, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}^{2}+1}
não pode convergir; portanto diverge.

Passo 5

Vou dar uma segunda demonstração alternativa (mais construtiva) que às vezes ajuda a convencer no exame: como a_{n}\to 0, existe N tal que para todo n\ge N temos a_{n}^{2}<1. Para tais n,
\frac{1}{a_{n}^{2}+1}>\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Logo a cauda da série satisfaz
\sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{a_{n}^{2}+1} \ge \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{2} = \infty,
pois somar \tfrac{1}{2} infinitas vezes diverge. Assim a série diverge por comparação com uma série divergente de termos constantes. (Esse argumento dá uma intuição forte: os termos não só não vão a zero, como ficam maiores que uma constante positiva.)

Passo 6

Síntese e incentivo: o passo-chave foi perceber que a convergência de \sum a_{n} força a_{n}\to 0, e então os termos \dfrac{1}{a_{n}^{2}+1} tendem a 1, portanto a série dos b_{n} falha no teste necessário da convergência. Você fez bem em pedir a resolução passo a passo — esse tipo de raciocínio é muito útil na prova. Vamos em frente que você consegue!

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}^{2}+1} diverge.

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