Suponha que
e
convirja. Mostre se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado dá que
para todo
e que a série
converge. A pergunta é: a série
converge ou diverge?
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
-
para todo . -
converge (logo os termos formam uma sequência cujos somatórios parciais têm limite finito). - Precisamos decidir se
converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro fato básico que vamos usar: se uma série de termos positivos
converge, então os termos
tendem a zero. Vou provar isso de forma direta e simples. Defina a soma parcial
. Como a série converge, a sequência
converge para algum
. Note que
Como
e
, temos
Portanto
. (Comentário amigo: esse é um resultado que aparece sempre nas provas — quando a série converge, os termos vão para zero. Guarde isso.)
Passo 3
Agora estude o termo genérico da série que queremos:
Como
, e a função
é contínua em todos os reais, podemos passar o limite para dentro da função:
Então os termos
tendem a
, não tendem a zero.
Passo 4
Lembrete do teste do termo geral (fato fundamental sobre séries): se
converge, então necessariamente
. A contrapositiva é: se
, a série
diverge. Aplicando isso ao nosso caso, como
, concluímos que
não pode convergir; portanto diverge.
Passo 5
Vou dar uma segunda demonstração alternativa (mais construtiva) que às vezes ajuda a convencer no exame: como
, existe
tal que para todo
temos
. Para tais
,
Logo a cauda da série satisfaz
pois somar
infinitas vezes diverge. Assim a série diverge por comparação com uma série divergente de termos constantes. (Esse argumento dá uma intuição forte: os termos não só não vão a zero, como ficam maiores que uma constante positiva.)
Passo 6
Síntese e incentivo: o passo-chave foi perceber que a convergência de
força
, e então os termos
tendem a
, portanto a série dos
falha no teste necessário da convergência. Você fez bem em pedir a resolução passo a passo — esse tipo de raciocínio é muito útil na prova. Vamos em frente que você consegue!