Calcule
, derivando implicitamente
Passo 1
O problema pede para calcular
a partir da igualdade
Informações dadas:
- A equação relaciona
e ; aqui é considerada função de (ou seja, ). - Há um termo
onde tanto a base quanto o expoente dependem de . - Precisamos obter uma expressão para a derivada
em termos de e . - Nenhuma outra informação sobre valores específicos de
ou foi dada.
Passo 2
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Primeiro tratamos o termo
. Esse termo é especial porque tanto a base quanto o expoente dependem de
. A forma mais prática é usar diferenciação logarítmica: se
, então tomamos logaritmo natural e diferenciamos. Faça assim:
Agora derivamos
em relação a
. Pela regra da cadeia,
No lado direito temos um produto
. Aplicando a regra do produto e lembrando que
, obtemos
Fatorando
,
Multiplicando por
vem
Observação importante (prática para a prova): ao usar
implicitamente assumimos
. Se
puder ser não positivo, a diferenciação de
exige cuidado (mas em muitas questões de prova assume-se
para esse tipo de termo).
Passo 3
Agora derivamos o termo
. É um produto entre
e
. Use a regra do produto:
. Aqui
e
. Calculamos:
Aplicando a regra do produto,
Passo 4
Derivamos o lado direito
. A derivada de
é
. Para
usamos novamente a regra do produto:
,
. Temos
Portanto
Passo 5
Agora junte todas as derivadas (derivando termo a termo a igualdade original). Da Passo 2, Passo 3 e Passo 4 obtemos
Agrupe os termos que contêm
de um lado e os termos sem
do outro. Primeiro escrevendo os termos com
juntos:
Agora subtraia
e subtraia
dos dois lados para isolar os termos com
:
Passo 6
Por fim, resolvemos para
dividindo ambos os lados pelo coeficiente que multiplica
. Assim
Podemos fatorar
no numerador se quisermos uma forma mais compacta: