Calcule \frac{d y}{d x}, derivando implicitamente
y^{y}+x^{2} y^{3}=1+y e^{x^{2}}

Passo 1

O problema pede para calcular \dfrac{dy}{dx} a partir da igualdade
y^{y}+x^{2} y^{3}=1+y e^{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A equação relaciona x e y; aqui y é considerada função de x (ou seja, y=y(x)).
  • Há um termo y^{y} onde tanto a base quanto o expoente dependem de x.
  • Precisamos obter uma expressão para a derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
  • Nenhuma outra informação sobre valores específicos de x ou y foi dada.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Primeiro tratamos o termo \,y^{y}\,. Esse termo é especial porque tanto a base quanto o expoente dependem de x. A forma mais prática é usar diferenciação logarítmica: se u(x)=y(x)^{\,y(x)}, então tomamos logaritmo natural e diferenciamos. Faça assim:
u = y^{y} \quad\Rightarrow\quad \ln u = \ln\big(y^{y}\big) = y\ln y.
Agora derivamos \ln u em relação a x. Pela regra da cadeia,
\frac{u'}{u} = \frac{d}{dx}\big(y\ln y\big).
No lado direito temos um produto y\cdot\ln y. Aplicando a regra do produto e lembrando que \dfrac{d}{dx}(\ln y)=\dfrac{y'}{y}, obtemos
\frac{u'}{u} = y'\ln y + y\cdot\frac{y'}{y} = y'\ln y + y'.
Fatorando y',
\frac{u'}{u} = y'(\ln y + 1).
Multiplicando por u=y^{y} vem
\frac{d}{dx}\big(y^{y}\big) = y^{y}\,y'\,(\ln y + 1).
Observação importante (prática para a prova): ao usar \ln y implicitamente assumimos y>0. Se y puder ser não positivo, a diferenciação de y^y exige cuidado (mas em muitas questões de prova assume-se y>0 para esse tipo de termo).

Passo 3

Agora derivamos o termo x^{2}y^{3}. É um produto entre x^{2} e y^{3}. Use a regra do produto: \dfrac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'. Aqui u=x^{2} e v=y^{3}. Calculamos:
\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x,
\frac{d}{dx}(y^{3}) = 3y^{2}y' \quad\text{(regra da cadeia, pois \(y\) depende de \(x\))}.
Aplicando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y^{3}\big) = (2x)\,y^{3} + x^{2}\,(3y^{2}y') = 2x y^{3} + 3x^{2}y^{2}y'.

Passo 4

Derivamos o lado direito 1 + y e^{x^{2}}. A derivada de 1 é 0. Para y e^{x^{2}} usamos novamente a regra do produto: u=y, v=e^{x^{2}}. Temos
\frac{d}{dx}(y) = y',
\frac{d}{dx}\big(e^{x^{2}}\big) = e^{x^{2}}\cdot 2x \quad\text{(regra da cadeia)}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(y e^{x^{2}}\big) = y' e^{x^{2}} + y\cdot(2x e^{x^{2}}) = y' e^{x^{2}} + 2x y e^{x^{2}}.

Passo 5

Agora junte todas as derivadas (derivando termo a termo a igualdade original). Da Passo 2, Passo 3 e Passo 4 obtemos
y^{y}(\ln y + 1)\,y' + \big(2x y^{3} + 3x^{2}y^{2}y'\big) = y' e^{x^{2}} + 2x y e^{x^{2}}.
Agrupe os termos que contêm y' de um lado e os termos sem y' do outro. Primeiro escrevendo os termos com y' juntos:
y' \big(y^{y}(\ln y + 1) + 3x^{2}y^{2}\big) + 2x y^{3} = y' e^{x^{2}} + 2x y e^{x^{2}}.
Agora subtraia 2x y^{3} e subtraia y' e^{x^{2}} dos dois lados para isolar os termos com y':
y'\big(y^{y}(\ln y + 1) + 3x^{2}y^{2} - e^{x^{2}}\big) = 2x y e^{x^{2}} - 2x y^{3}.

Passo 6

Por fim, resolvemos para y' dividindo ambos os lados pelo coeficiente que multiplica y'. Assim
y' = \frac{2x y e^{x^{2}} - 2x y^{3}}{\,y^{y}(\ln y + 1) + 3x^{2}y^{2} - e^{x^{2}}\,}.
Podemos fatorar 2x y no numerador se quisermos uma forma mais compacta:
y' = \frac{2x y\big(e^{x^{2}} - y^{2}\big)}{\,y^{y}(\ln y + 1) + 3x^{2}y^{2} - e^{x^{2}}\,}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2x y e^{x^{2}} - 2x y^{3}}{y^{y}(\ln y + 1) + 3x^{2}y^{2} - e^{x^{2}}}

Exercícios relacionados