Dado o ponto
e as retas
e
, encontre:
Ache as coordenadas do ponto
simétrico de
em relação à reta
.
Ache as coordenadas do ponto
Passo 1
O enunciado fornece:
- O ponto
. - A reta
dada por . - (Há também a reta
no enunciado, mas a pergunta pede apenas o simétrico de em relação a .)
O que se pede:
- Encontrar as coordenadas do ponto
, que é o simétrico de em relação à reta .
Passo 2
Ideia geral e justificativa (explicação didática):
- O ponto
simétrico de em relação à reta é o reflexo de sobre . O pé da perpendicular de sobre (vamos chamar de ) é o ponto médio do segmento . Portanto, o plano de ação é: - Encontrar a equação da perpendicular a
que passa por . - Calcular o ponto de interseção
entre essa perpendicular e — esse é o pé da perpendicular. - Usar a relação de ponto médio para obter
: se é o ponto médio de , então as coordenadas de são obtidas por e .
- Encontrar a equação da perpendicular a
Explicando a fórmula do ponto médio (para não pular etapas):
- Se
é o ponto médio de e , então
- Isolando
e obtemos
Essas são as fórmulas que usaremos no passo final.
Passo 3
Encontrar a equação da perpendicular a
que passa por
.
Primeiro, escrever
na forma explícita para ler sua inclinação (coeficiente angular). A reta
é
Logo o coeficiente angular (declive) da reta
é
.
A reta perpendicular a
tem coeficiente angular
tal que
. Portanto
A reta perpendicular a
que passa por
tem equação na forma ponto-declive:
ou seja
Passo 4
Calcular o ponto de interseção [H) entre
e a perpendicular
.
Resolvendo o sistema formado por
substitui-se
implica
Portanto o pé da perpendicular é
.]
Passo 5
Determinar
usando a fórmula do ponto médio.
Temos
e
. Usando
calcula-se
Logo
.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- O ponto médio de
e é
que pertence à reta
(verificável substituindo
em
).
- A inclinação de
é
que é de fato perpendicular à inclinação de
(que é
), pois
. Assim a construção está coerente.