Dado o ponto A=(0,3) e as retas r: x+y=-1 e s: x-2 y=-5, encontre:
Ache as coordenadas do ponto A^{\prime} simétrico de A em relação à reta r.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O ponto A = (0,3).
  • A reta r dada por x+y=-1.
  • (Há também a reta s: x-2y=-5 no enunciado, mas a pergunta pede apenas o simétrico de A em relação a r.)
O que se pede:
  • Encontrar as coordenadas do ponto A^{\prime}, que é o simétrico de A em relação à reta r.

Passo 2

Ideia geral e justificativa (explicação didática):
  • O ponto A^{\prime} simétrico de A em relação à reta r é o reflexo de A sobre r. O pé da perpendicular de A sobre r (vamos chamar de H) é o ponto médio do segmento AA^{\prime}. Portanto, o plano de ação é:
    1. Encontrar a equação da perpendicular a r que passa por A.
    2. Calcular o ponto de interseção H entre essa perpendicular e r — esse é o pé da perpendicular.
    3. Usar a relação de ponto médio para obter A^{\prime}: se H é o ponto médio de AA^{\prime}, então as coordenadas de A^{\prime} são obtidas por x_{A'} = 2x_H - x_A e y_{A'} = 2y_H - y_A.
Explicando a fórmula do ponto médio (para não pular etapas):
  • Se H é o ponto médio de A=(x_A,y_A) e A'=(x_{A'},y_{A'}), então
x_H=\frac{x_A+x_{A'}}{2},\qquad y_H=\frac{y_A+y_{A'}}{2}.
  • Isolando x_{A'} e y_{A'} obtemos
x_{A'}=2x_H-x_A,\qquad y_{A'}=2y_H-y_A.
Essas são as fórmulas que usaremos no passo final.

Passo 3

Encontrar a equação da perpendicular a r que passa por A.
Primeiro, escrever r na forma explícita para ler sua inclinação (coeficiente angular). A reta r é
x+y=-1 \quad\Longrightarrow\quad y=-x-1.
Logo o coeficiente angular (declive) da reta r é m_r=-1.
A reta perpendicular a r tem coeficiente angular m_{\perp} tal que m_r\cdot m_{\perp}=-1. Portanto
m_{\perp}=\frac{-1}{m_r}=\frac{-1}{-1}=1.
A reta perpendicular a r que passa por A=(0,3) tem equação na forma ponto-declive:
y-3=1\cdot(x-0),
ou seja
y=x+3.

Passo 4

Calcular o ponto de interseção [H) entre r e a perpendicular y=x+3.
Resolvendo o sistema formado por
\begin{cases} x+y=-1,\\[4pt] y=x+3, \end{cases}
substitui-se y\] da segunda na primeira: \[x+(x+3)=-1.\] Isso dá \[2x+3=-1 \quad\Longrightarrow\quad 2x=-4 \quad\Longrightarrow\quad x=-2.\] Agora \(y=x+3 implica
y=-2+3=1.
Portanto o pé da perpendicular é H=(-2,1).]

Passo 5

Determinar A^{\prime} usando a fórmula do ponto médio.
Temos A=(0,3) e H=(-2,1). Usando
x_{A'}=2x_H-x_A,\qquad y_{A'}=2y_H-y_A,
calcula-se
x_{A'}=2\cdot(-2)-0=-4,
y_{A'}=2\cdot 1-3=2-3=-1.
Logo A' = (-4,-1).

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • O ponto médio de A=(0,3) e A'=(-4,-1) é
\left(\frac{0+(-4)}{2},\frac{3+(-1)}{2}\right)=(-2,1)=H,
que pertence à reta r (verificável substituindo x=-2,y=1 em x+y=-1).
  • A inclinação de AA' é
\frac{-1-3}{-4-0}=\frac{-4}{-4}=1,
que é de fato perpendicular à inclinação de r (que é -1), pois 1\cdot(-1)=-1. Assim a construção está coerente.

Resposta

A' = (-4,-1)

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