Determine ( 1,5 pontos cada)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- É uma integral definida com limites inferiores e superiores
e . - O integrando é
, que podemos reescrever como .
Objetivo: encontrar o valor numérico exato (em forma fechada) dessa integral.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando e a estratégia: quando aparece uma função composta do tipo
junto com um fator
multiplicando, é natural tentar a substituição que simplifica o expoente. A ideia da substituição é trocar a variável
por uma nova variável
de modo que a integral fique mais simples.
Vamos escolher a substituição
Agora precisamos relacionar os diferenciais: derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
que aparece na integral:
Isto transforma o elemento diferencial e o fator
de forma conveniente.
Passo 3
Mudar também os limites de integração (muito importante em integrais definidas): os limites são dados em termos de
, então ao fazer
devemos calcular os novos limites.
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Portanto os limites em
vão de
a
.
Passo 4
Substituindo na integral original: como
e
e
, obtemos
Fatorando a constante
para fora da integral,
Passo 5
Agora integramos
. A primitiva de
é
, pois
. Assim,
Avaliando nos limites
e
,
Passo 6
Simplificando
, temos a forma final da integral:
Como checagem rápida (opcional): uma primitiva da função original em termos de
é
. Derivando
em relação a
obtém-se
, confirmando que a antiderivada está correta.