Determine ( 1,5 pontos cada)
\int_{0}^{1} \frac{x}{e^{x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x}{e^{x^{2}}}\,dx.
Informações dadas:
  • É uma integral definida com limites inferiores e superiores 0 e 1.
  • O integrando é \dfrac{x}{e^{x^{2}}}, que podemos reescrever como x e^{-x^{2}}.
Objetivo: encontrar o valor numérico exato (em forma fechada) dessa integral.

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando e a estratégia: quando aparece uma função composta do tipo e^{x^{2}} junto com um fator x multiplicando, é natural tentar a substituição que simplifica o expoente. A ideia da substituição é trocar a variável x por uma nova variável u de modo que a integral fique mais simples.
Vamos escolher a substituição
u = x^{2}.
Agora precisamos relacionar os diferenciais: derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx que aparece na integral:
x\,dx = \frac{du}{2}.
Isto transforma o elemento diferencial e o fator x de forma conveniente.

Passo 3

Mudar também os limites de integração (muito importante em integrais definidas): os limites são dados em termos de x, então ao fazer u=x^{2} devemos calcular os novos limites.
  • Quando x=0, temos u=0^{2}=0.
  • Quando x=1, temos u=1^{2}=1.
Portanto os limites em u vão de 0 a 1.

Passo 4

Substituindo na integral original: como \dfrac{x}{e^{x^{2}}}dx = x e^{-x^{2}}dx e x\,dx = \dfrac{du}{2} e e^{-x^{2}} = e^{-u}, obtemos
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} e^{-u}\cdot\frac{du}{2}.
Fatorando a constante \dfrac{1}{2} para fora da integral,
\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du.

Passo 5

Agora integramos \int e^{-u}\,du. A primitiva de e^{-u} é -e^{-u}, pois \dfrac{d}{du}\bigl(-e^{-u}\bigr)=e^{-u}. Assim,
\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[-e^{-u}\Bigr]_{0}^{1}.
Avaliando nos limites 0 e 1,
\frac{1}{2}\Bigl(-e^{-1} - \bigl(-e^{0}\bigr)\Bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e^{0} - e^{-1}\bigr).

Passo 6

Simplificando e^{0}=1, temos a forma final da integral:
\frac{1}{2}\left(1 - e^{-1}\right).
Como checagem rápida (opcional): uma primitiva da função original em termos de x é -\dfrac{1}{2}e^{-x^{2}}. Derivando -\dfrac{1}{2}e^{-x^{2}} em relação a x obtém-se x e^{-x^{2}}, confirmando que a antiderivada está correta.

Resposta

\dfrac{1}{2}\left(1 - e^{-1}\right)

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