Determine se o campo \mathbf{F}(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}) é conservativo.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\big(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\big)
e pede que determinemos se esse campo é conservativo.
Informações relevantes dadas:
  • O campo está escrito em coordenadas cartesianas como múltiplo do vetor (x,y,z).
  • O denominador é \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, que fica nulo em (0,0,0). Portanto \mathbf{F} não está definido no ponto (0,0,0).
  • A pergunta é apenas “é conservativo?” (não foi pedido explicitamente, mas é útil achar um potencial caso seja).

Passo 2

O que significa “conservativo”? Vou explicar com clareza e calma. Um campo vetorial \mathbf{F} é conservativo em um domínio se existe uma função escalar \varphi (potencial) tal que
\mathbf{F}=\nabla\varphi,
ou seja, cada componente de \mathbf{F} é a derivada parcial correspondente de \varphi. Em palavras: o campo é o gradiente de alguma função escalar. Se encontrarmos uma \varphi com essa propriedade no domínio onde \mathbf{F} está definido, então \mathbf{F} é conservativo aí.

Passo 3

Escolha do método: há duas abordagens comuns.
  • Verificar \nabla\times\mathbf{F}=0 (curl nulo) e usar o teorema que em domínios simplesmente conectos isso garante existência de potencial.
  • Tentar adivinhar um potencial \varphi e calcular \nabla\varphi para ver se é \mathbf{F}.
Aqui o campo parece ser radial (ele aponta na direção de (x,y,z) e tem fator que depende só da distância ao origem). Para campos radiais costuma ser fácil adivinhar um potencial que dependa apenas da distância r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. Por isso vou tentar achar \varphi(r) diretamente — é mais rápido e instrutivo.

Passo 4

Proposta de potencial: como \mathbf{F} tem a forma \dfrac{(x,y,z)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, uma boa aposta é a função escalar
\varphi(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aqui \varphi é a distância r ao ponto (0,0,0). Vou verificar que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais (aplicando a regra da cadeia). Escrevo \varphi=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}. Então, por derivação,
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x
Explicando cada passo: a potência 1/2 vem de \sqrt{\cdot}; a derivada interna de x^{2}+y^{2}+z^{2} em relação a x é 2x. Simplificando:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
De forma idêntica, pelas mesmas regras:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

Passo 6

Reunindo as componentes em forma vetorial:
\nabla\varphi=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\mathbf{i}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\mathbf{j}+\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\mathbf{k}.
Comparando com a definição de \mathbf{F} vemos que
\mathbf{F}=\nabla\varphi.
Portanto \mathbf{F} é o gradiente de \varphi onde \varphi é diferenciável.

Passo 7

Domínio de validade: a expressão \varphi(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é diferenciável em todo ponto em que o radicando é positivo, ou seja, em \mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\}. O campo \mathbf{F} nem sequer está definido em (0,0,0) porque o denominador vira zero. Logo a igualdade \mathbf{F}=\nabla\varphi vale em todo o domínio onde \mathbf{F} está definido: em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}.
Observação extra (útil para a prova): como fornecemos um potencial explícito \varphi, não é necessário discutir conectividade do domínio para concluir que \mathbf{F} é conservativo ali — a existência do potencial já prova isso. Ainda assim, para referência, \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\} é simplesmente conexo, então uma verificação por \nabla\times\mathbf{F}=0 também seria suficiente.

Passo 8

Resumo e incentivo final: encontramos um potencial simples e fizemos as contas aplicando a regra da cadeia passo a passo. Mesmo em questões que parecem pesadas, tentar uma função dependente só de r é uma boa estratégia para campos radiais. Vai dar certo na prova — respira, faz com calma e aplica a regra da cadeia como aqui.

Resposta

Sim. É conservativo em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}. Potencial: \varphi(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

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