Determine se o campo
é conservativo.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede que determinemos se esse campo é conservativo.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O campo está escrito em coordenadas cartesianas como múltiplo do vetor
. - O denominador é
, que fica nulo em . Portanto não está definido no ponto . - A pergunta é apenas “é conservativo?” (não foi pedido explicitamente, mas é útil achar um potencial caso seja).
Passo 2
O que significa “conservativo”? Vou explicar com clareza e calma. Um campo vetorial
é conservativo em um domínio se existe uma função escalar
(potencial) tal que
ou seja, cada componente de
é a derivada parcial correspondente de
. Em palavras: o campo é o gradiente de alguma função escalar. Se encontrarmos uma
com essa propriedade no domínio onde
está definido, então
é conservativo aí.
Passo 3
Escolha do método: há duas abordagens comuns.
- Verificar
(curl nulo) e usar o teorema que em domínios simplesmente conectos isso garante existência de potencial. - Tentar adivinhar um potencial
e calcular para ver se é .
Aqui o campo parece ser radial (ele aponta na direção de
e tem fator que depende só da distância ao origem). Para campos radiais costuma ser fácil adivinhar um potencial que dependa apenas da distância
. Por isso vou tentar achar
diretamente — é mais rápido e instrutivo.
Passo 4
Proposta de potencial: como
tem a forma
, uma boa aposta é a função escalar
Aqui
é a distância
ao ponto
. Vou verificar que
.
Passo 5
Cálculo das derivadas parciais (aplicando a regra da cadeia). Escrevo
. Então, por derivação,
Explicando cada passo: a potência
vem de
; a derivada interna de
em relação a
é
. Simplificando:
De forma idêntica, pelas mesmas regras:
Passo 6
Reunindo as componentes em forma vetorial:
Comparando com a definição de
vemos que
Portanto
é o gradiente de
onde
é diferenciável.
Passo 7
Domínio de validade: a expressão
é diferenciável em todo ponto em que o radicando é positivo, ou seja, em
. O campo
nem sequer está definido em
porque o denominador vira zero. Logo a igualdade
vale em todo o domínio onde
está definido: em
.
Observação extra (útil para a prova): como fornecemos um potencial explícito
, não é necessário discutir conectividade do domínio para concluir que
é conservativo ali — a existência do potencial já prova isso. Ainda assim, para referência,
é simplesmente conexo, então uma verificação por
também seria suficiente.
Passo 8
Resumo e incentivo final: encontramos um potencial simples e fizemos as contas aplicando a regra da cadeia passo a passo. Mesmo em questões que parecem pesadas, tentar uma função dependente só de
é uma boa estratégia para campos radiais. Vai dar certo na prova — respira, faz com calma e aplica a regra da cadeia como aqui.
Resposta
Sim. É conservativo em
. Potencial:
.