Determine os pontos do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} mais próximos de (0,0,3).

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que estão mais próximos do ponto (0,0,3).
Informações dadas:
  • Superfície: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Ponto externo: (0,0,3).
  • Observação importante: pela fórmula do cone, z\ge 0.
O que se quer: achar todos os pontos (x,y,z) na superfície do cone que minimizam a distância até (0,0,3).

Passo 2

Estratégia útil (explicação didática): para minimizar distância é mais simples minimizar o quadrado da distância, porque o quadrado elimina a raiz e tem o mesmo ponto minimizador que a distância. Vou chamar a distância entre (x,y,z) e (0,0,3) de D. Então:
D=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-3)^{2}}.
Minimizar D é equivalente a minimizar D^{2}, e trabalhar com D^{2} evita a raiz e facilita as contas. Esta é uma técnica padrão: se f é monotonicamente crescente e não negativa, minimizar f(g(x)) é o mesmo que minimizar g(x); aqui f(t)=\sqrt{t} e g=D^{2}.

Passo 3

Escrevendo D^{2} e usando a condição do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Primeiro:
D^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}.
Pela equação do cone, z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Defino também a coordenada radial no plano xy por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\text{(então \(r\ge 0\))}.ã
Com isso z=r. Substituindo em D^{2} obtemos uma função só em r:
D^{2}(r)=r^{2}+(r-3)^{2}.

Passo 4

Simplificar D^{2}(r) e encontrar seu mínimo.
Expando:
D^{2}(r)=r^{2} + (r-3)^{2} = r^{2} + r^{2}-6r+9 = 2r^{2}-6r+9.
Agora minimizo esta função de uma variável para r\ge 0. Posso derivar:
\frac{d}{dr}D^{2}(r)=4r-6.
Igualando a zero para pontos críticos:
4r-6=0 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Verificação de mínimo: a segunda derivada é
\frac{d^{2}}{dr^{2}}D^{2}(r)=4>0,
portanto r=\tfrac{3}{2} é um mínimo global (no domínio r\ge 0).

Passo 5

Calcular o valor mínimo da distância ao ponto e interpretar geometricamente.
O valor mínimo de D^{2} em r=\tfrac{3}{2} é
D^{2}\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=2\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-6\left(\tfrac{3}{2}\right)+9 =2\cdot\tfrac{9}{4}-9+9=\tfrac{9}{2}.
Logo a distância mínima é
D_{\min}=\sqrt{\tfrac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Geometricamente, r=\tfrac{3}{2} significa x^{2}+y^{2}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4}. Como no cone z=r, tem-se z=\tfrac{3}{2}. Portanto os pontos que atingem a distância mínima formam um círculo no plano z=\tfrac{3}{2} de raio \tfrac{3}{2}, centrado na origem.

Passo 6

Parametrização e descrição final (para saber como escrever os pontos na prova).
Uma parametrização desses pontos é, para \theta\in[0,2\pi):
\bigl(x(\theta),y(\theta),z(\theta)\bigr)=\left(\tfrac{3}{2}\cos\theta,\; \tfrac{3}{2}\sin\theta,\; \tfrac{3}{2}\right).
Ou, de forma cartesiana:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=\tfrac{9}{4},\; z=\tfrac{3}{2}\}.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}=\tfrac{9}{4},\; z=\tfrac{3}{2}\}

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