Determine os pontos do cone
mais próximos de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos do cone
que estão mais próximos do ponto
.
Informações dadas:
- Superfície:
. - Ponto externo:
. - Observação importante: pela fórmula do cone,
.
O que se quer: achar todos os pontos
na superfície do cone que minimizam a distância até
.
Passo 2
Estratégia útil (explicação didática): para minimizar distância é mais simples minimizar o quadrado da distância, porque o quadrado elimina a raiz e tem o mesmo ponto minimizador que a distância. Vou chamar a distância entre
e
de
. Então:
Minimizar
é equivalente a minimizar
, e trabalhar com
evita a raiz e facilita as contas. Esta é uma técnica padrão: se
é monotonicamente crescente e não negativa, minimizar
é o mesmo que minimizar
; aqui
e
.
Passo 3
Escrevendo
e usando a condição do cone
.
Primeiro:
Pela equação do cone,
. Defino também a coordenada radial no plano
por
Com isso
. Substituindo em
obtemos uma função só em
:
Passo 4
Simplificar
e encontrar seu mínimo.
Expando:
Agora minimizo esta função de uma variável para
. Posso derivar:
Igualando a zero para pontos críticos:
Verificação de mínimo: a segunda derivada é
portanto
é um mínimo global (no domínio
).
Passo 5
Calcular o valor mínimo da distância ao ponto e interpretar geometricamente.
O valor mínimo de
em
é
Logo a distância mínima é
Geometricamente,
significa
. Como no cone
, tem-se
. Portanto os pontos que atingem a distância mínima formam um círculo no plano
de raio
, centrado na origem.
Passo 6
Parametrização e descrição final (para saber como escrever os pontos na prova).
Uma parametrização desses pontos é, para
:
Ou, de forma cartesiana: