1. Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.
    (a) f(x)=lsen(x^2-4)+5, se x>2 x^2+x-6x-2, se x<2 5, x=2
    (b) f(x)=l|x^2-4 x+3|x-3, se x neq 3 1, se x=3
    (c) f(x)=1+(-1)^lfloor xrfloor2 sen(pi x)

Passo 1

Resumindo: queremos os pontos onde cada função é contínua, isto é, onde vale
limxto a^-f(x)=limxto a^+f(x)=f(a)
Como são funções definidas por partes, vamos primeiro ver onde cada parte é contínua e depois checar as junções (os pontos em que a definição muda).

Passo 2

Vamos a (a):
f(x)= senl(x^2-4r)+5,&x>2, x^2+x-6x-2,&x<2, 5,&x=2
  1. Para x>2, sen(x^2-4)+5 é combinação de funções contínuas, logo contínua em todo (2,infty).
  2. Para x<2, note que
x^2+x-6x-2 =(x-2)(x+3)x-2 =x+3,
que é contínua em (-infty,2).
3. No ponto x=2:
  • Limite pela esquerda:
    limxto2^-x^2+x-6x-2 =limxto2^-(x+3)=5
  • Limite pela direita:
    limxto2^+sen(x^2-4)+5 =sen(0)+5=5
  • E f(2)=5.
    Como os dois limites valem 5, coincide com f(2) e a função é contínua em x=2.
Portanto em (a) f é contínua em todo R.

Passo 3

Agora (b):
Primeiro simplifico , então
Isso dá
  • Para : , logo , contínua em .
  • Para : , logo , contínua em .
    No ponto :
são diferentes e não coincidem com . Logo há descontinuidade em .
Portanto em (b) é contínua em .

Passo 4

Finalmente (c):
f(x)=1+(-1)^lfloor xrfloor2,sen(pi x)
Repare que
1+(-1)^lfloor xrfloor2= 1,&lfloor xrfloor par, 0,&lfloor xrfloor ímpar í
Assim em cada intervalo unitário [n,n+1):
  • Se n é par, f(x)=sen(pi x), contínua em (n,n+1).
  • Se n é ímpar, f(x)=0, contínua em (n,n+1).
    Faltam os inteiros x=n: de cada lado
limxto n^-f(x)=sen(pi n)=0, limxto n^+f(x)=0, f(n)=0
(independentemente de n ser par ou ímpar, o valor cai em sen(pi n)=0 ou na constante zero). Logo não há “salto”.
Em (c) f é contínua em todo R.

Resposta

(a) contínua em (-infty,infty).
(b) contínua em (-infty,3)cup(3,infty).
(c) contínua em (-infty,infty).

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