Determine os pontos de continuidade de:
G(x, y)=cl(x y^32 x^2+y^2, x^2+x2 x), & se (x, y) neq(0,0) (0, 12), & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar onde a função vetorial
G(x,y)=
( x y³/(2x²+y²), (x²+x)/(2x) ) se (x,y)≠(0,0) e G(0,0)=(0,1/2) é contínua. O assunto aqui é continuidade de funções racionais em várias variáveis e continuidade em ponto especial (origem). Vamos usar que funções racionais são contínuas onde o denominador ≠0 e verificar a origem.

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0) a segunda componente só faz sentido se 2x≠0, ou seja, x≠0, e a primeira componente exige 2x²+y²≠0, mas isso vale para todo (x,y)≠(0,0). Logo, em todo ponto com x≠0 a G é dada por duas funções racionais cujos denominadores não se anulam ali. Portanto G é contínua em todo (x,y) com x≠0.
Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos calcular o limite de G(x,y) quando (x,y)→(0,0) e comparar com G(0,0)=(0,1/2). Vamos estudar cada componente separadamente.

Passo 3

Para a primeira componente f₁(x,y)=x y³/(2x²+y²) usamos coordenadas polares: x=r
cosθ, y=r
sinθ. Então
f₁(r,θ)=(rcosθ)(rsinθ)³2(rcosθ)²+(rsinθ)² =r^4cosθsin³θr^2(2cos²θ+sin²θ) =r^2cosθsin³θ2cos²θ+sin²θ to 0 ³²²³²²³²²
quando r→0, pois fica r² vezes uma função de θ limitada.

Passo 4

A segunda componente f₂(x,y)=(x²+x)/(2x) pode ser reescrita para x≠0 como
f₂(x,y)=x(x+1)2x=x+12
Logo quando (x,y)→(0,0) com x≠0 temos f₂→(0+1)/2=1/2.
Como o limite de G(x,y) em (0,0) é (0,1/2), que coincide com G(0,0), G é contínua também na origem.

Passo 5

Conclusão: G é contínua em todo ponto do domínio, ou seja, em todos (x,y) com x≠0, e no ponto (0,0).

Resposta

G é contínua em todos os pontos com x≠0 e também em (0,0).

Exercícios relacionados