Determine os pontos de continuidade de:
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar onde a função vetorial
G(x,y)=
( x y³/(2x²+y²), (x²+x)/(2x) ) se (x,y)≠(0,0) e G(0,0)=(0,1/2) é contínua. O assunto aqui é continuidade de funções racionais em várias variáveis e continuidade em ponto especial (origem). Vamos usar que funções racionais são contínuas onde o denominador ≠0 e verificar a origem.
G(x,y)=
( x y³/(2x²+y²), (x²+x)/(2x) ) se (x,y)≠(0,0) e G(0,0)=(0,1/2) é contínua. O assunto aqui é continuidade de funções racionais em várias variáveis e continuidade em ponto especial (origem). Vamos usar que funções racionais são contínuas onde o denominador ≠0 e verificar a origem.
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0) a segunda componente só faz sentido se 2x≠0, ou seja, x≠0, e a primeira componente exige 2x²+y²≠0, mas isso vale para todo (x,y)≠(0,0). Logo, em todo ponto com x≠0 a G é dada por duas funções racionais cujos denominadores não se anulam ali. Portanto G é contínua em todo (x,y) com x≠0.
Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos calcular o limite de G(x,y) quando (x,y)→(0,0) e comparar com G(0,0)=(0,1/2). Vamos estudar cada componente separadamente.
Passo 3
Para a primeira componente f₁(x,y)=x y³/(2x²+y²) usamos coordenadas polares: x=r
cosθ, y=r
sinθ. Então
cosθ, y=r
sinθ. Então
quando r→0, pois fica r² vezes uma função de θ limitada.
Passo 4
A segunda componente f₂(x,y)=(x²+x)/(2x) pode ser reescrita para x≠0 como
Logo quando (x,y)→(0,0) com x≠0 temos f₂→(0+1)/2=1/2.
Como o limite de G(x,y) em (0,0) é (0,1/2), que coincide com G(0,0), G é contínua também na origem.
Passo 5
Conclusão: G é contínua em todo ponto do domínio, ou seja, em todos (x,y) com x≠0, e no ponto (0,0).
Resposta
G é contínua em todos os pontos com x≠0 e também em (0,0).